Русская Википедия:Параметризация Вейерштрасса — Эннепера
Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.
Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.
Параметризация
Пусть <math>f</math> и <math>g</math> будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где <math>g</math> является мероморфной, а <math>f</math> является аналитической, таким образом, что <math>g</math> имеет полюс порядка <math>m</math>, <math>f</math> имеет нуль порядка <math>2m</math> (или, эквивалентно, так что произведение <math>fg^2</math> является голоморфной функцией), и пусть <math>c_1,c_2,c_3</math> будут константами. Тогда поверхность с координатами <math>(x_1,x_2,x_3)</math> является минимальной, где <math>x_k</math> определяется как вещественная часть комплексного интеграла:
<math>\begin{align}
x_k(\zeta) &{}= \Re \left\{ \int_{0}^{\zeta} \varphi_{k}(z) \, dz \right\} + c_k , \qquad k=1,2,3 \\
\varphi_1 &{}= f(1-g^2)/2 \\
\varphi_2 &{}= \mathbf{i} f(1+g^2)/2 \\
\varphi_3 &{}= fg
\end{align}</math>
Обратное также верно — любая непланарная минимальная поверхность, определённая над связной областью может быть параметризована таким образомШаблон:Sfn.
Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию <math>f(z)=1, g(z)=z^m</math>.
Параметрическая поверхность комплексных переменных
Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность <math>X</math> (<math>\mathbb{R}^3</math>) на комплексной плоскости (<math>\mathbb{C}</math>). Пусть <math>\omega=u+v i</math> (комплексная плоскость как пространство <math>uv</math>), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:
- <math>
\mathbf{J}= \begin{bmatrix} \left( 1- g^2(\omega) \right)f(\omega) \\
i\left( 1+ g^2(\omega) \right)f(\omega) \\ 2g(\omega) f(\omega)
\end{bmatrix} </math>
Здесь <math>f(\omega)</math> и <math>g(\omega)</math> являются голоморфными функциями от <math>\omega</math>.
Якобиан <math>\mathbf{J}</math> представляет два ортогональных касательных к поверхности вектораШаблон:Sfn:
- <math>
\mathbf{X_u}= \begin{bmatrix} \operatorname{Re}\mathbf{J}_1 \\ \operatorname{Re}\mathbf{J}_2 \\ \operatorname{Re} \mathbf{J}_3 \end{bmatrix} \;\;\;\; \mathbf{X_v}= \begin{bmatrix} -\operatorname{Im}\mathbf{J}_1 \\ -\operatorname{Im}\mathbf{J}_2 \\ -\operatorname{Im} \mathbf{J}_3 \end{bmatrix} </math>
Нормаль к поверхности задаётся выражением:
- <math>
\mathbf{\hat{n}}= \frac{\mathbf{X_u}\times \mathbf{X_v}}{|\mathbf{X_u}\times \mathbf{X_v}|}= \frac{1}{| g|^2+1} \begin{bmatrix} 2\operatorname{Re} g\\ 2\operatorname{Im} g \\ | g|^2-1 \end{bmatrix} </math>
Якобиан <math>\mathbf{J}</math> приводит к ряду важных свойств: <math>\mathbf{X_u} \cdot \mathbf{X_v}=0</math>, <math>\mathbf{X_u}^2 = \operatorname{Re}(\mathbf{J}^2)</math>, <math>\mathbf{X_v}^2 = \operatorname{Im}(\mathbf{J}^2)</math>, <math>\mathbf{X_{uu}} + \mathbf{X_{vv}}=0.</math>
Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхностьШаблон:Sfn. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :
- <math>
\begin{bmatrix} \mathbf{X_u} \cdot \mathbf{X_u} & \;\; \mathbf{X_u} \cdot \mathbf{X_v}\\ \mathbf{X_v} \cdot \mathbf{X_u} & \;\;\mathbf{X_v} \cdot \mathbf{X_v} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
и матрицы второй квадратичной формы
- <math>
\begin{bmatrix} \mathbf{X_{uu}} \cdot \mathbf{\hat{n}} & \;\; \mathbf{X_{uv}} \cdot \mathbf{\hat{n}}\\ \mathbf{X_{vu}} \cdot \mathbf{\hat{n}} & \;\; \mathbf{X_{vv}} \cdot \mathbf{\hat{n}} \end{bmatrix} </math>
Наконец, точка <math>\omega_t</math> на комплексной плоскости отображается в точку <math>\mathbf{X}</math> на минимальной поверхности в <math>\mathbb{R}^3</math>:
- <math>
\mathbf{X}= \begin{bmatrix} \operatorname{Re} \int_{\omega_0}^{\omega_ t}\mathbf{J}_1 d\omega\\ \operatorname{Re} \int_{\omega_0}^{\omega_ t} \mathbf{J}_2 d\omega\\ \operatorname{Re} \int_{\omega_0}^{\omega_ t} \mathbf{J}_3 d\omega \end{bmatrix} </math> где <math>\omega_0=0</math> для всех минимальных поверхностей, за исключением Шаблон:Нп5, где <math>\omega_0=(1+i)/2</math>.
Вложенные минимальные поверхности и примеры
Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в <math>\mathbb{R}^3</math> с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и Шаблон:Нп5. Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса <math>\wp </math>Шаблон:Sfn:
- <math>
g(\omega)=\frac{A}{\wp' (\omega)} </math>
- <math>
f(\omega)= \wp(\omega) </math> где <math>A</math> является константойШаблон:Sfn.
Геликатеноид
Выбрав функции <math>f(\omega) = e^{-i \alpha}e^{\omega/A}</math> и <math>g(\omega) = e^{-\omega/A}</math>, получим семейство минимальных поверхностей:
<math>\varphi_1 = e^{-i \alpha} \sinh\left(\frac{\omega}{A}\right)</math>
<math>\varphi_2 = i e^{-i \alpha} \cosh\left(\frac{\omega}{A}\right)</math>
<math>\varphi_3 = e^{-i \alpha}</math>
<math> \mathbf{X}(\omega) = \operatorname{Re}
\begin{bmatrix}
e^{-i\alpha} A \cosh \left( \frac{\omega}{A} \right) \\ i e^{-i\alpha} A \sinh \left( \frac{\omega}{A} \right) \\ e^{-i\alpha} \omega \\ \end{bmatrix} = \cos(\alpha)
\begin{bmatrix}
A \cosh \left( \frac{\operatorname{Re}(\omega)}{A} \right) \cos \left( \frac{\operatorname{Im}(\omega)}{A} \right)\\ - A \cosh \left( \frac{\operatorname{Re}(\omega)}{A} \right) \sin \left( \frac{\operatorname{Im}(\omega)}{A} \right) \\ \operatorname{Re}(\omega) \\ \end{bmatrix} + \sin(\alpha)
\begin{bmatrix}
A \sinh \left( \frac{\operatorname{Re}(\omega)}{A} \right) \sin \left( \frac{\operatorname{Im}(\omega)}{A} \right)\\ A \sinh \left( \frac{\operatorname{Re}(\omega)}{A} \right) \cos \left( \frac{\operatorname{Im}(\omega)}{A} \right) \\ \operatorname{Im}(\omega) \\ \end{bmatrix} </math>
Выберем параметры поверхности <math> \omega = s + i(A \phi) </math>:
<math> \mathbf{X}(s,\phi)= \cos(\alpha)
\begin{bmatrix}
A \cosh \left( \frac{s}{A} \right) \cos \left( \phi \right)\\ - A \cosh \left( \frac{s}{A} \right) \sin \left( \phi \right) \\ s \\ \end{bmatrix} + \sin(\alpha)
\begin{bmatrix}
A \sinh \left( \frac{s}{A} \right) \sin \left( \phi \right)\\ A \sinh \left( \frac{s}{A} \right) \cos \left( \phi \right) \\ A \phi \\ \end{bmatrix} </math>
В экстремальных точках поверхность является катеноидом <math>(\alpha = 0)</math> или геликоидом <math>(\alpha = \pi/2)</math>. В остальном <math>\alpha</math> представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси <math>\mathbf{X}_3</math> по спирали.
Линии кривизны
Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от <math>f</math> и <math>g</math>, например:
- <math>
\mathbf{X_{uu}} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \frac{1}{|g|^2+1}
\begin{bmatrix}
\operatorname{Re} \left( ( 1- g^2 ) f' - 2gfg'\right) \\ \operatorname{Re} \left( ( 1+ g^2 ) f'i+ 2gfg'i \right) \\ \operatorname{Re} \left( 2gf' +2fg' \right) \\ \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
\operatorname{Re} \left( 2g \right) \\
\operatorname{Re} \left( -2gi \right) \\
\operatorname{Re} \left( |g|^2-1 \right) \\
\end{bmatrix}
= -2\operatorname{Re} (fg') </math>
А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена:
- <math>
\begin{bmatrix} -\operatorname{Re} f g' & \;\; \operatorname{Im} f g' \\ \operatorname{Im} f g' & \;\; \operatorname{Re} f g' \end{bmatrix} </math>
Одним из собственных векторов матрицы является:
- <math>
\overline{\sqrt{ f g'} }
</math> он представляет главное направление в комплексной областиШаблон:Sfn. Поэтому двумя главными направлениями в пространстве <math>uv</math> оказываются:
- <math>
\phi= -\frac{1}{2} Arg(f g') \pm k \pi /2
</math>
См. также
- Ассоцированное семейство
- Шаблон:Нп5, имеется аналогичная параметрищация в гиперболическом пространстве
Примечания
Литература
Шаблон:Минимальные поверхности Шаблон:Rq
.jpg){kind=link}
_and_the_3D_surfaces._The_continuous_surfaces_are_made_of_copies_of_the_fundamental_patch_(R3).jpg){kind=link}
