Русская Википедия:Параметрический осциллятор
Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.
Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.
Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.
Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.
Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.
Математика
Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса <math>m</math>, коэффициент упругости <math>k</math> и коэффициент затухания <math>\beta</math>. Если эти коэффициенты зависят от времени, и <math>m=m(t), k=k(t), \beta=\beta(t)</math>, то уравнение движения имеет вид
|
<math>(1)</math> |
Сделаем замену переменной времени <math>t</math> →<math>\tau</math>, где <math>d\tau=dt/m(t)</math>, что приводит уравнение (1) к виду
\frac{d^2x }{d \tau^2} + \beta\frac{d x }{d \tau} + kmx = 0, </math> |
<math>(2)</math> |
Сделаем еще одну замену <math>x(\tau)</math> → <math>q(\tau)</math>:
q(\tau)=\exp^{B(\tau)}x(\tau), B(\tau)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tau}\beta(\xi )d\xi, </math> |
<math>(3)</math> |
Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:
\frac{d^2 q}{d \tau^2}+\delta^2(\tau)q=0 , \delta^2(\tau)=km-\frac{\dot\beta}{2}-\frac{\beta^2}{4}, </math> |
<math>(4)</math> |
Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида
\frac{d^2x }{d t^2}+\omega ^2(t)x=0, </math> |
<math>(5)</math> |
которое получилось бы из уравнения (1) при <math>m=const</math>.
Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты <math>\omega ^2(t)=\omega ^2_{0}</math>, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости <math>\omega (t)</math> уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости <math>\omega (t)</math> — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.
1. Рассмотрим случай, когда <math>\omega^2 (t)=\omega ^2_{0}[1+h\cos (\omega _{0}+\varepsilon )t]</math>, то есть уравнение (5) имеет вид
\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos (\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0, </math> |
<math>(6)</math> |
Где <math>\omega_{0}</math> — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты <math>h \ll 1</math>, постоянная <math>\varepsilon \ll \omega_{0}</math> — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что <math>h>0</math>. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра <math>\varepsilon</math>, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение <math>x(t)</math> неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда
-\frac{5}{24}< \frac{\varepsilon }{h^2\omega_{0}}<\frac{1}{24}, </math> |
<math>(7)</math> |
2. Рассмотрим случай, когда <math>\omega^2(t)=\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]</math> , то есть уравнение (5) имеет вид
\frac{d^2x }{dt^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0, </math> |
<math>(8)</math> |
Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой <math>y=2\omega_{0}+\varepsilon</math>. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов <math>h^2</math>, происходит в случае, когда
-\frac{1}{32}h-\frac{1}{2}<\frac{\varepsilon}{h\omega_{0}}<-\frac{1}{32}h+\frac{1}{2}, </math> |
<math>(9)</math> |
В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид
\ddot\phi +\omega^2_{0}[1+\frac{4a}{l}\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]\phi=0, </math> |
<math>(10)</math> |
где <math>\omega^2_{0}=\frac{g}{l}</math>, и <math>h=\frac{4a}{l}</math>. В случае, когда <math>a \ll l</math> и ограничиваясь первым порядком разложения по <math>h</math>, получим, что
-\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}<\varepsilon<\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}, </math> |
<math>(11)</math> |
Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний <math>\omega=\omega_{0}</math> и её удвоенного значения <math>\omega=2\omega_{0}</math>, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения
\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0, </math> |
<math>(12)</math> |
Параметрический резонанс имеет место, когда
\omega=\frac{2\omega_{0}}{n}, n=1,2,..., </math> |
<math>(13)</math> |
Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника <math>\omega_{0}</math>, а ширина резонанса равна <math>h\omega_{0}</math>. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении
\frac{d^2x }{d t^2}+3\gamma \frac{d x}{d t}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0, </math> |
<math>(14)</math> |
Имеет место явление параметрического резонанса не при любых <math>h \ll 1</math>, а лишь при тех <math> h>\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma^2}</math>. Т.о., при наличии трения
\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma}<h \ll 1, </math>, |
<math>(15)</math> |
что позволяет надлежащим выбором параметров <math>\gamma</math>,<math> \omega_{0}</math>, и <math> h</math>, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.
Ссылки
- Пример параметрической неустойчивости [1]
- Броуновский параметрический осциллятор [2]
Литература
[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109
[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.
[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.
