Русская Википедия:Параметрическое задание поверхности

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией <math>F(t_1,\ldots,t_k):\mathbb{M}\to\mathbb{R}^3</math>, зависящей от <math>k</math> параметров и отображающей некоторое связное множество <math>\mathbb{M}</math> из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Эта функция <math>F</math> задаёт класс поверхностей, а набор <math>k</math> параметров — конкретную поверхность из этого класса.

Наиболее практичным является случай, когда множество <math>\mathbb{M}</math> является единичным квадратом в двумерном пространстве. В этом случае параметрическую поверхность можно описать так:

<math>(x,y,z) = F(u,v)</math> или <math>\left\{ \begin{array}{ccc}

x &=& X(u,v) \\ y &=& Y(u,v) \\ z &=& Z(u,v) \end{array}\right.</math>, где <math>(u,v)\in[0,1]^2</math>

Параметрические поверхности широко используются в прикладной геометрии и компьютерной графике для представления сложных поверхностей. Параметризация делает такие поверхности удобными для обработки и отображения.

Примеры

  • Треугольник Этот важнейший частный случай N-угольника заслуживает особого внимания. Наиболее распространённый способ параметризации треугольника — линейное отображение на него треугольника из <math>uv</math>-пространства.

x &=& \rho\cos\varphi\cos\theta \\ y &=& \rho\cos\varphi\sin\theta \\ z &=& \rho\sin\varphi\end{array}\right.,\quad \varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\;\theta\in[0,2\pi)</math>.

x &=& \rho\cos\varphi \\ y &=& \rho\sin\varphi \\ z &=& z\end{array}\right.,\quad \varphi\in[0,2\pi),z \in(-\infty,+\infty)</math>.

<math>(x,y)=P_1uv+P_2(1-u)v+P_3u(1-v)+P_4(1-u)(1-v)</math>
Эта поверхность является гладкой, однако невозможность задавать произвольные касательные на её границе делает её практически неприменимой в качестве патчей
  • Поверхность Безье. На практике применяется в основном два вида поверхностей Безье: бикубическая 3-го порядка — четырёхугольник, определяемый 16-ю точками, и барицентрическая 3-го порядка — треугольник, определяемый 10 точками. Барицентрическая система координат в треугольнике содержит 3 числа, поэтому она не всегда удобна.
Граница поверхности Безье состоит из кривых Безье. Точки, определяющие поверхность, определяют также кривые её границы, включая нормали на них. Это позволяет создавать гладкие составные поверхности, то есть использовать поверхности Безье в качестве патчей
Рациональная поверхность Безье отличается тем, что каждой точке в её определении назначен некоторый «вес», определяющий степень её влияния на форму поверхности.
  • B-сплайновая поверхность. На практике обычно применяются бикубические B-сплайновые поверхности. Как и поверхности Безье, они определяются 16 точками, однако в общем случае не проходят через эти точки. Однако B-сплайны удобно использовать в качестве патчей, так как они хорошо стыкуются друг с другом при использовании общей сетки вершин, а сами вершины позволяют явным образом задавать нормали и касательные на границах патчей.
При необходимости более гибкого управления формой поверхности применяют рациональные B-сплайны, неоднородные B-сплайны, а также комбинированный вариант — неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS).

Свойства

Пусть <math>\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}</math>. Тогда:

  • Нормаль в точке поверхности определяется выражением:
<math>\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}}</math>
<math>\frac{D(y,z)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(x-x_0)+\frac{D(z,x)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(y-y_0)+\frac{D(x,y)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(z-z_0)=0</math>
  • Площадь параметрически заданной поверхности рассчитывается по формулам:
<math>\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>
или
<math>\iint\,\left|[\dot{r}_u\times\dot{r}_v]\right|\;\mathrm{d}\,u\;\mathrm{d}\,v</math>, где <math>\dot{r}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right), \quad \dot{r}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right)</math>

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Параметрическое_задание_поверхности&oldid=10557225