Русская Википедия:Параметры Стокса
Параметры Стокса — это набор величин, описывающих вектор поляризации электромагнитных волн, введенный в физику Дж. Стоксом в 1852 году[1]. Параметры Стокса являют собой альтернативу описанию некогерентного или частично поляризованного излучения в терминах полной интенсивности, степени поляризации и формы эллипса поляризации.
Определение
В случае плоской монохроматической волны параметры Стокса связаны с параметрами поляризационного эллипса следующим образом[2]:
- <math> \begin{align}
S_0 &= I = E_a^2 + E_b^2 \\ S_1 &= Q = I \cos 2\psi \cos 2\chi\\ S_2 &= U = I \sin 2\psi \cos 2\chi\\ S_3 &= V = I \sin 2\chi \end{align} </math>
Здесь <math>E_a</math> и <math>E_b</math> — большая и малая полуоси поляризационного эллипса, <math>\psi</math>— угол поворота поляризационного эллипса относительно произвольной лабораторной системы координат — носит название азимута эллиптически-поляризованного излучения[3] (или кратко — азимут), а угол <math>\chi</math>, определяемый из условия отношения малой полуоси к большой <math>\mathrm{tg}\,{\chi} = E_b / E_a</math>— угол эллиптичности эллипса поляризации. Нетрудно заметить, что <math>S_1</math>, <math>S_2</math> и <math>S_3</math> являются проекциями <math>S_0</math> на некие координатные оси. В итоге независимыми являются всего три параметра Стокса, поскольку:
- <math>I^2 = Q^2 + U^2 + V^2</math>
Параметры Стокса можно связать с величинами, непосредственно измеряемыми. Пусть <math>E_1</math> и <math>E_2</math> — амплитуды изменения вектора <math>\vec{E}</math> в двух произвольных ортогональных направлениях, а <math>\delta</math> — разность фаз колебаний в этих направлениях. Тогда:
- <math> \begin{align}
S_0 &= I = E_1^2 + E_2^2\\ S_1 &= Q = E_1^2 - E_2^2\\ S_2 &= U = 2E_1E_2\cos\delta\\ S_3 &= V = 2E_1E_2\sin\delta \end{align} </math>
Примечание: наряду с вариантами обозначений <math>S_0</math>, <math>S_1</math>, <math>S_2</math>, <math>S_3</math> или <math>I</math>, <math>Q</math>, <math>U</math>, <math>V</math> в некоторых научных традициях можно встретить обозначения параметров вектора <math>I</math>, <math>M</math>, <math>C</math>, <math>S</math> или <math>I</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math>, <math>P_3</math> или <math>S_1</math>, <math>S_2</math>, <math>S_3</math>, <math>S_4</math>.
Частные случаи
Выразим с помощью параметров Стокса линейную поляризацию. В этом случае разность фаз в любых ортогональных направлениях должна составлять <math>\delta = m\pi</math>, где <math>m</math> — целое число. Тогда получаем
- <math> \begin{align}
I &= E_1^2 + E_2^2 = E_a^2 + E_b^2\\ Q &= I \cos{2\chi}\cos{2\psi} = I \frac{1}{I}\sqrt{I^2 - (2E_1E_2)^2\sin^2\delta}\cos{2\psi} = I\cos{2\psi}\\ U &= I \cos{2\chi}\sin{2\psi} = I \frac{1}{I}\sqrt{I^2 - (2E_1E_2)^2\sin^2\delta}\sin{2\psi} = I\sin{2\psi}\\ V &= I \sin{2\chi} = I \frac{2E_1E_2}{I}\sin{\delta} = 0 \end{align}</math>
Предположим, что лабораторная ось отсчёта была выбрана горизонтально, как часто это и делается. Если <math>\psi = 0</math>, то мы получим горизонтальную линейную поляризацию, если <math>\psi = \pm\frac{\pi}{2}</math>, то это будет вертикальная линейная поляризация.
В таблице приведены значения параметров Стокса для трех частных случаев
| Поляризация | Параметры Стокса | |||
|---|---|---|---|---|
| <math>I</math> | <math>Q</math> | <math>U</math> | <math>V</math> | |
| Линейная | <math>I</math> | <math>I \cos{2\psi}</math> | <math>I \sin{2\psi}</math> | <math>0</math> |
| Правая круговая | <math>I</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>I</math> |
| Левая круговая | <math>I</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>-I</math> |
Векторы Стокса
Часто четыре параметра Стокса объединяют в один четырёхмерный вектор, именуемый вектором Стокса:
- <math>
\vec S \ = \begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix} </math>
Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного излучения. Для сравнения, вектор Джонса применим только для полностью поляризованного излучения, но более полезен для задач связанных с когерентным излучением.
Влияние оптической системы на поляризацию света падающего на неё излучения, заданного вектором Стокса, можно рассчитать с помощью преобразования Мюллера.
Примеры
Ниже приведены векторы Стокса для некоторых простых вариантов поляризации света.
| Горизонтальная поляризация | Вертикальная поляризация | Линейная поляризация (+45°) | Линейная поляризация (−45°) |
| <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math> | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math> | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} </math> | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}</math> |
| Левая круговая поляризация | Правая круговая поляризация | ||
| <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} </math> | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}</math> | ||
| Неполяризованный свет | |||
| <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math> |
Параметры Стокса для квазимонохроматического излучения
В квазимонохроматическом излучении присутствуют волны разных, хоть и близких частот. Пусть <math>a_1</math> и <math>a_2</math> — мгновенные амплитуды в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Тогда параметры Стокса задаются следующими выражениями[4]:
- <math>\begin{align}
I &= \langle a_1^2 \rangle + \langle a_2^2 \rangle\\ Q &= \langle a_1^2 \rangle - \langle a_2^2 \rangle\\ U &= 2\langle a_1a_2\cos\delta \rangle\\ V &= 2\langle a_1a_2\sin\delta \rangle \end{align}</math>
Для определения параметров Стокса введем интенсивность колебаний <math> I(\theta, \epsilon)</math> в направлении, образующим угол <math>\theta</math> с направлением осью Ox, когда их y-компонента запаздывает на величину <math>\epsilon</math> по отношению к x-компоненте. Тогда
- <math>\begin{align}
I &= I(0^{\circ}, 0) + I(90^{\circ}, 0)\\ Q &= I(0^{\circ}, 0) - I(90^{\circ}, 0)\\ U &= I(45^{\circ}, 0) - I(135^{\circ}, 0)\\ V &= I\left(45^{\circ}, \frac{\pi}{2}\right) - I\left(135^{\circ}, \frac{\pi}{2}\right) \end{align}</math>
В отличие от монохроматического излучения, в квазимонохроматическом случае параметры Стокса независимы и связаны неравенством
- <math>I^2 \geqslant Q^2 + U^2 + V^2</math>
Это неравенство можно объяснить, предположив, что квазимонохроматическое излучение состоит из полностью поляризованного и полностью неполяризованного излучения. На основе этого можно ввести степень поляризации:
- <math>p = \frac{\sqrt{Q^2 + U^2 + V^2}}{I}</math>
Комплексное представление
Введем комплексную интенсивность линейно поляризованной волны
- <math>
\begin{matrix} L & \equiv & |L|e^{i2\theta} \\
& \equiv & Q +iU. \\
\end{matrix} </math>
Можно показать, что при повороте <math>\theta \rightarrow \theta+\theta'</math> поляризационного эллипса величины <math>I</math> и <math>V</math> остаются неизменными, а величины <math>L</math>, <math>Q</math> и <math>U</math> меняются следующим образом:
- <math>
\begin{matrix} L & \rightarrow & e^{i2\theta'}L, \\ Q & \rightarrow & \mbox{Re}\left(e^{i2\theta'}L\right), \\ U & \rightarrow & \mbox{Im}\left(e^{i2\theta'}L\right).\\ \end{matrix} </math>
Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно свести к трем обобщенным интенсивностям:
- <math>
\begin{matrix} I & \ge & 0, \\ V & \in & \mathbb{R}, \\ L & \in & \mathbb{C}, \\ \end{matrix} </math>
где <math>I</math> — полная интенсивность, <math>|V|</math> — интенсивность компоненты с круговой поляризацией, а <math>|L|</math> — интенсивность линейно поляризованной компоненты излучения. Полная интенсивность поляризованного излучения будет <math>I_p=\sqrt{|L|^2+|V|^2}</math>, а ориентация и направление вращения определяются отношениями
- <math>
\begin{matrix} \theta &=& \frac{1}{2}\arg(L), \\ h &=& \sgn(V). \\ \end{matrix} </math>
Так как <math>Q=\mbox{Re}(L)</math>, а <math>U=\mbox{Im}(L)</math>, то
- <math>
\begin{matrix} |L| &=& \sqrt{Q^2+U^2}, \\ \theta &=& \frac{1}{2}\tan^{-1}(U/Q). \\ \end{matrix} </math>
См. также
Примечания
Литература
- E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
- E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылки
- ↑ S. Chandrasekhar 'Radiative Transfer, Dover Publications, New York, 1960, ISBN 0-486-60590-6, page 25
- ↑ Thomas L. Wilson, Kristen Rohlfs, Susane Hüttemeister - Tools of Radio Astronomy, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-85121-9, ISBN 978-3-540-85122-6
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ М.Борн, Э. Вольф - Основы Оптики, М. "Наука", 1973
