Русская Википедия:Пара топологических пространств

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Пара топологических пространств — упорядоченная пара <math>(X,A)</math> где <math>X</math> — топологическое пространство, а <math>A</math> — подпространство (с топологией подпространства).

Отображение пар <math>f\colon(X,A)\to (Y,B)</math> определяется как отображение <math>f\colon X\to Y</math> такое, что <math>f(A)\subset B</math>.

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий <math>H_k(X,Y)</math>, для которых как раз требуется, чтобы <math>Y</math> вкладывалось в <math>X</math>. Для хороших пространств (например, если <math>Y</math> — клеточный подкомплекс клеточного комплекса <math>X</math>Шаблон:Sfn) выполнено равенство <math>H_k(X,Y) \simeq \overline{H}(X/Y) = H(X/Y, \varnothing).</math>

Свойства

• Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство <math>X</math> в пару <math>(X,\varnothing)</math> ,

Относительные гомологии

Шаблон:Main Если дана пара топологических пространств <math>(X,Y)</math>, то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей <math>C_k(X)/C_k(Y)</math>. Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают <math>H_k(X,Y)</math> и называют гомологиями пары.

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары: <math display=block>\ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y) \stackrel{\partial_{\ast}}{\longleftarrow} H_k (X,Y) \longleftarrow H_k (X) \longleftarrow H_k(Y) \stackrel{\partial_{\ast}}{\longleftarrow} H_{k+1}(X,Y) \longleftarrow \ldots </math>

Вариации и обобщения

Родственным понятием является понятие тройки <math>(X, A, B)</math>, где <math>B \subseteq A \subseteq X</math>. Тройки используются в теории гомотопий. Часто для пространств с отмеченной точкой <math>x_0</math> тройку записывают как <math>(X, A, B, x_0)</math>, где <math>x_0 \in B \subseteq A \subseteq X</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга