Русская Википедия:Парная корреляционная гипотеза Монтгомери

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Hugh Montgomery at Oberwolfach 2008.jpg
Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

Па́рная корреляцио́нная гипо́теза Монтго́мери — гипотеза американского математика Хью Монтгомери (1973) о том, что парная корреляция между парами нулей дзета-функции Римана (нормированная к единице среднего расстояния) естьШаблон:Sfn:

<math>1-\left(\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\right)^2 +\delta(u),</math>

что, как указал ему (1972) Фримен ДайсонШаблон:SfnШаблон:Sfn, совпадает с парной корреляционной функцией (иначе говоря — с формфактором для парных корреляций) собственных значений гауссовых случайных эрмитовых матриц. Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2πL/log(T) на расстоянии 2πu/log(T) от нуля 1/2+iT примерно в L раз превышает приведённое выше выражение (коэффициент 2π/log(T) является нормировочным фактором, который можно неофициально представить как среднее расстояние между нулями с мнимой частью относительно T). Шаблон:Нп3 (1987) показалШаблон:Sfn, что гипотеза была подтверждена крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей дзета-функции Римана. Гипотеза была распространена на корреляции более 2 нулей, а также на дзета-функции автоморфных представленийШаблон:Sfn. В 1982 году студент Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу о парной корреляции для некоторых L-функций ДирихлеШаблон:Sfn.

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана. Гипотеза Гильберта — Пойи утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора, и подразумевает RH. Ряд исследователей считают, что это является перспективным подходомШаблон:Sfn.

Монтгомери изучал преобразование Фурье F(x) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что она равна |x| для |x|<1. Его методы не смогли определить его для |x|≥1, но он предположил, что он был равен 1 для этих x, что подразумевает, что парная корреляционная функция такая же, как и выше. Он также был мотивирован тем, что гипотеза Римана не является «кирпичной стеной», и можно смело высказывать более сильные предположения.

Численный подсчёт Одлыжко

Файл:Montgomery-Odlyzko law.png
Вещественная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА. Синие точки описывают нормализованные расстояния первых 105 нетривиальных нулей дзета-функции Римана.

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей дзета-функции Римана. Используя самый быстрый в мире суперкомпьютер Cray X-MP, проведя детальные численные расчёты, он продемонстрировал подтверждение гипотезы Монтгомери и соответствие распределения расстояний между нетривиальными нулями собственным значениям случайной матрицы гауссова унитарного ансамбля (ГУА). Результаты Одлыжко опубликовал в 1987 году в статье «О распределении интервалов между нулями дзета-функции»Шаблон:Sfn.

Как отмечает ДербиширШаблон:Sfn, результаты Одлыжко оказались не полностью убедительными — малых интервалов получилось несколько больше, чем предсказывалось моделью ГУА. Дальнейшие исследования прояснили ситуацию с несоответствиями, и парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала «законом Монтгомери — Одлыжко» (впервые упоминание о «законе Монтгомери — Одлыжко» появилось в статье Николаса Каца и Питера Сарнака 1999 года): Шаблон:Bquote

Для нетривиального нуля, 1/2+iγn, пусть нормированные расстояния будут

<math>\delta_n = \frac{\gamma_{n+1}-\gamma_{n}}{2 \pi} { \log{ \frac{\gamma_n}{2 \pi} }}.</math>

Тогда мы ожидаем следующую формулу в качестве предела для <math>M, N \to\infty</math>:

<math>\frac{1}{M} \{(n,k) | N \leq n \leq N+M, \,k \geq 0, \,</math><math>\delta_{n}+ \delta_{n+1}+ \cdots +\delta_{n+k} \in [ \alpha, \beta] \}</math><math> \sim \int_{\alpha}^{\beta} \left (

1- \biggl ( \frac{\sin{\pi u}}{\pi u} \biggr )^2 \right ) du </math>

Основываясь на новом алгоритме, разработанном Одлыжко и Шаблон:Нп3, позволившим им вычислить значение ζ(1/2 + it) в среднем времени tε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 1020 и дал ряд доказательств для ГУА-гипотезыШаблон:Sfn.

На рисунке представлены первые 105 нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше выборок из нулей, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы ГУА.

Связь с квантовым хаосом

Как указывает кандидат физико-математических наук Трушечкин А. С., распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана тесно связано с явлением квантового хаосаШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:Bquote

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Парная_корреляционная_гипотеза_Монтгомери&oldid=10561409