Русская Википедия:Первая и вторая теоремы Хелли
Между функциями распределения <math>\left\{F_{\xi}\left(x\right)\right\}</math> и множеством их характеристических функций <math>\left\{f_{\xi}\left(t\right)\right\}</math> существует взаимно однозначное соответствие.
В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.
Первая и вторая теоремы Хелли
Первая теорема Хелли
Из всякой последовательности функций распределения <math>\left\{F_x \right\}</math> можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Вторая теорема Хелли
Если <math>g\left(x\right)</math> — непрерывная ограниченная функция на прямой и <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right), F\left(\infty\right)-F\left(-\infty\right)=1,</math> то
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>
Доказательство первой теоремы Хелли
Пусть <math>D=\left\{x_k\right\}</math> — всюду плотное на прямой счетное множество.
Из ограниченной последовательности <math>0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1</math> выбираем сходящуюся подпоследовательность <math>F_{1n}\left(x_{1}\right)</math>, предел которой обозначим <math>F\left(x_{1}\right).</math>
Из ограниченной последовательности <math>0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1</math> выбираем сходящуюся подпоследовательность <math>F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)</math> и т. д.
Далее выбираем диагональную подпоследовательность <math>f_{nn}\left(x\right)</math>, для которой <math>F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)</math> для любой точки <math>x_{k}\in D.</math>
По лемме отсюда вытекает <math>F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).</math>
Лемма
Если <math>F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)</math> на всюду плотном на прямой множестве <math>D</math>, то <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).</math>
Замечание
<math>F\left(x\right)</math> может не быть функцией распределения. Например, если <math>F_{n}\left(x\right)=0</math> при <math>x<n</math> и <math>F_{n}\left(x\right)=1</math> при <math>x\geq n, </math> то <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.</math>
Доказательство второй теоремы Хелли
Пусть <math>a<b</math> — точки непрерывности <math>F\left(x\right)</math>.Докажем сначала, что
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>.
Пусть <math>\varepsilon>0</math>. Разделим <math>\left[a,b\right]</math> точками непрерывности <math>a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b</math> функции <math>F\left(x\right)</math> на такие отрезки <math>\left[x_{k-1},x_{k}\right]</math>, что <math>\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|< \varepsilon</math> для точек <math>x\in\left[x_{k-1},x_{k}\right]</math>.
Это сделать можно, так как <math>g\left(x\right)</math> равномерно непрерывна на <math>\left[a,b\right]</math>, а точки непрерывности <math>F\left(x\right)</math> расположены всюду плотно.
Определим ступенчатую функцию.
- <math>g_{\varepsilon}\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)</math> на <math>x\in\left(x_{k-1},x_{k}\right]</math>.
Тогда
- <math>\left|\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\int_{a}^{b}\left|g\left(x \right )-g_{\varepsilon}\left(x \right )\right|dF_{n}\left(x \right )+\left|\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF_{n}-\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF\right|+\int_{a}^{b}\left| g\left(x\right) - g_{\varepsilon}\left(x \right ) \right|dF\left(x \right )\leq </math>
- <math>\leq2\varepsilon + \mathsf{M}\left[\sum_{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k} \right )-F\left(x_{k} \right )-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right )-F\left(x_{k-1} \right )\right)\right]\right].</math>
где <math>\mathsf{M}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.</math>.
При <math>n\rightarrow\infty</math> последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).</math>
Для доказательства
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>
выберем <math>X>0</math> таким, чтобы <math>F\left(-X\right)<\frac{\varepsilon}{4}</math> и <math>1-F\left(X\right)<\frac{\varepsilon}{4}</math> и чтобы точки <math>\pm X</math> были точками непрерывности <math>F\left(x\right).</math>
Тогда, так как <math>F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)</math> можно выбрать <math>n_0</math> таким, что при <math>n\geq n_0, F_{n}\left(-X\right)<\frac{\varepsilon}{2}</math> и <math>1-F_{n}\left(X\right)< \frac{\varepsilon}{2}.</math>
Оценим разность
- <math>\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq</math>
- <math>\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}.</math>
На основании <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math> заключаем, что правая часть
- <math>\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq</math>
- <math>\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}.</math>
может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.
См. также
Литература
