Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Первая квадратичная форма часто обозначается <math>\mathrm{I}</math>.
Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.
Определение
Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> поверхность задана уравнением <math>r = r (u, v),</math> где <math>u</math> и <math>v</math> ― внутренние координаты на поверхности; <math>dr= r_u du + r_v dv</math> ― дифференциал радиус-вектора <math>r</math> вдоль выбранного направления смещения из точки <math>M</math> в бесконечно близкую точку <math>M'</math>.
(Здесь <math>r_u</math> и <math>r_v</math> — частные производные радиус-вектора <math>r</math> по <math>u</math> и по <math>v</math> соответственно.)
Тогда квадрат главной части приращения длины <math>|MM'|</math> выражается квадратом дифференциала <math>dr</math>:
- <math>\mathrm{I} = (dr)^2 = \langle r_u, r_u\rangle du^2+2\langle r_u, r_v\rangle du dv + \langle r_v, r_v\rangle dv^2</math>
и называется первой квадратичной формой поверхности.
Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через
- <math>E =|r_u|^2, \ F = \langle r_u, r_v\rangle, \ G=|r_v|^2</math>
или, в тензорных символах,
- <math>\mathrm{I} = dr^2 = g_{1,1}du^2+2g_{1,2} du dv+g_{2,2}dv^2.</math>
Тензор <math>g_{i,j}</math> называется основным, или метрическим, тензором поверхности.
Свойства
- Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности
- <math>EG - F^2 > 0.</math>
См. также
Литература
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
