Русская Википедия:Первая теорема о среднем
Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.
Формулировка
Пусть функция <math>f(x)</math> интегрируема на отрезке <math>[a;b]</math>, и ограничена на нём числами <math>m</math> и <math>M</math> так, что <math>m \le f(x) \le M</math>. Тогда существует такое число <math>\mu</math>, <math>m \le \mu \le M</math>, что
- <math> \int\limits_a^b f(x) dx = \mu (b-a) </math>.
Доказательство
Из неравенства <math>m \le f(x) \le M</math> по свойству монотонности интеграла имеем
- <math> m (b-a) \le \int\limits_a^b f(x) dx \le M(b-a)</math>.
Обозначив <math>\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx</math>, получим требуемое утверждение. Так определённое число <math>\mu</math> называют средним значением функции <math>f(x)</math> на отрезке <math>[a;b]</math>, откуда и название теоремы.
Замечание
Если функция <math>f(x)</math> непрерывна на <math>[a;b]</math>, то в качестве <math>m</math> и <math>M</math> можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка <math>c \in [a;b]</math>, что <math>f(c) = \mu</math>, поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде
- <math> \int\limits_a^b f(x) dx = f(c) (b-a) </math>.
Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как
- <math> F(b) - F(a) = F'(c) \; (b-a) </math>,
где <math>F(x)</math> — первообразная функции <math>f(x)</math>, что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции <math>F(x)</math>.
Обобщение
Пусть функции <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> интегрируемы на отрезке <math>[a;b]</math>, причём по-прежнему <math>m \le f(x) \le M</math>, а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: <math>g(x) \ge 0</math>, либо всюду неположительна <math>g(x) \le 0</math>). Тогда существует такое число <math>\mu</math>, <math>m \le \mu \le M</math>, что
- <math> \int\limits_a^b f(x) g(x) dx = \mu \int\limits_a^b g(x) dx</math>.
Доказательство
Пусть <math>g(x)</math> неотрицательна, тогда имеем
- <math> m g(x) \le f(x)g(x) \le M g(x)</math>,
откуда, ввиду монотонности интеграла
- <math> m \int\limits_a^b g(x)dx \le \int\limits_a^b f(x)g(x)dx \le M \int\limits_a^b g(x)dx </math>.
Если <math>\int_a^b g(x)dx = 0</math>, то из этого неравенства следует, что <math>\int_a^b f(x)g(x)dx = 0</math>, и утверждение теоремы выполняется при любом <math>\mu</math>. В противном случае положим
- <math> \mu = \frac{\int\limits_a^b f(x)g(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} </math>.
Обобщение доказано. Если функция <math>f(x)</math> непрерывна, можно утверждать, что существует точка <math>c \in [a;b]</math> такая, что
- <math> \int\limits_a^b f(x) g(x) dx = f(c) \int\limits_a^b g(x) dx</math>
(аналогично предыдущему).
Литература
