Русская Википедия:Первообразная

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Первообрáзная для функции <math>f(x)</math> (иногда называемая антипроизводной или примити́вной функцией) — это такая функция, производная которой равна <math>f(x)</math>. Это одно из важнейших понятий математического анализа вещественной переменной (существуют также обобщения этого понятия для комплексных функций[1]).

Определение

Первообразной для данной функции <math>f(x)</math> называют[2] такую функцию <math>F(x)</math>, производная которой равна <math>f</math> (на всей области определения <math>f</math>), то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять определённые интегралы. Если <math>F</math> — первообразная интегрируемой непрерывной функции <math>f</math>, то:

<math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).</math>

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении неопределённого интеграла для <math>f(x)</math>, а сам процесс называется интегрированием. О применении этой теории в геометрии см. Интегральное исчисление.

Пример: функция <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math> является первообразной для <math>f(x) = x^2,</math> потому что <math>F'(x)=f(x).</math>

Неоднозначность

Файл:Slope Field.png
Поле направлений функции <math>F(x) = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+c</math>, показывающий три решения постоянной интегрирования Шаблон:Mvar.

Если <math>F</math> — первообразная для <math>f</math>, то любая функция, полученная из <math>F</math> добавлением константы: <math>G(x) = F(x) + C</math> тоже является первообразной для <math>f</math>. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она входит в целое семейство первообразных[2] <math>F(x) + C,</math> которое называется неопределённым интегралом <math>f(x)</math> и записывается в виде интеграла без указания пределов:

<math>\int f(x)\, dx</math>

Верно и обратное: если <math>F</math> — первообразная для <math>f</math>, и функция <math>f</math> определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная <math>G</math> отличается от <math>F</math> на константу: всегда существует число <math>C</math>, такое что <math>G(x) = F(x) + C</math> для всех <math>x</math>. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения <math>C.</math> Число <math>C</math> называют постоянной интегрирования.

Например, семейство первообразных для функции <math>x^2</math> имеет вид: <math>F(x) = \frac{x^3}{3}+C</math>, где <math>C</math> — любое число.

Если область определения функции <math>f</math> не является сплошным интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константуШаблон:Sfn. Так, например, функция <math>\frac{1}{x^2}</math> не существует в нуле, поэтому её область определения состоит из двух интервалов: <math>x>0</math> и <math>x<0.</math> Соответственно получаются два независимых семейства первообразных на этих интервалах: <math>-\frac{1}{x}+\hat C</math>, где <math>\hat C</math> является константой при <math>x>0</math> и, вообще говоря, другой константой при <math>x<0</math>:

<math>\hat C (x) = \left\{
\begin{aligned}
 C_1, \text{ если } x<0\\
 C_2, \text{ если } x>0
\end{aligned}

\right.</math>

Существование

Каждая непрерывная функция <math>f</math> имеет первообразную <math>F</math>, одна из которых представляется в виде интеграла от <math>f</math> с переменным верхним пределом:

<math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.</math>

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, <math>f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}</math> с <math>f(0) = 0</math> не непрерывна при <math>x = 0</math>, но имеет первообразную <math>F(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}</math> с <math>F(0) = 0</math>. Для разрывных ограниченных функций вместо интеграла Римана удобно использовать более общий интеграл Лебега. Необходимыми условиями существования первообразной являются принадлежность функции <math>f</math> первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу[2].

Многие первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (то есть через многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

<math>\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx</math>.

Для таких функций интеграл от них, если он существует, может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Свойства первообразной

  • Первообразная суммы функций равна сумме первообразных для слагаемых.
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.
  • У всех функций, непрерывных на отрезке, существуют и первообразная, и интеграл по Риману. Однако в общем случае существование первообразной и интегрируемость функции не связаны[3]:
    • Функция знака (sgn) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной (из-за разрыва в нуле).
    • У функции <math>f(x)=x^2 \sin\frac{1}{x^2}</math> (положим также <math>f(0)=0</math>) на отрезке <math>[-1,1]</math> имеется конечная производная <math>g(x);</math> таким образом, у функции <math>g(x)</math> существует первообразная (а именно, <math>f(x)</math>), но <math>g(x)</math> не ограничена на <math>[-1,1]</math> и поэтому не интегрируема по Риману.

Техника интегрирования

Шаблон:Main Шаблон:Also Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Вс

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Книга
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Первообразная&oldid=10574604