Русская Википедия:Первообразный корень из единицы

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Первообразный корень (или примитивный корень) степени <math>m</math> из единицы в поле <math>K</math> ― это такой элемент <math>\xi\in K</math>, что <math>\xi^m = 1</math> и <math>\xi^\ell \not= 1</math> для любого натурального <math>\ell<m</math>.

Если <math>K</math> ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня <math>\xi</math> образуют циклическую группу корней порядка <math>m</math> из единицы.

Свойства

• Если в поле <math>K</math> существует первообразный корень степени <math>m</math>, то <math>m</math> взаимно просто с характеристикой поля <math>K</math>.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если <math>\xi</math> ― первообразный корень степени <math>m</math>, то для любого <math>\ell</math> взаимно простого с <math>m</math>, элемент <math>\xi^\ell</math> также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени <math>m</math> (когда они существуют) равно значению функции Эйлера <math>\varphi(m)</math>.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  <math>e^{2\pi{i}\ell/m}=\cos\frac{2\pi\ell}{m}+i\sin\frac{2\pi\ell}{m}</math>,

  где <math>\ell</math> взаимно просто с <math>m</math>.

• В конечном поле <math>\mathbb{F}_q</math>, где q — степень простого числа, первообразный корень степени <math>q - 1</math> является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite web