Русская Википедия:Перестановочные операторы
Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор <math>B</math> и линейный оператор <math>T</math>, для которых оператор <math>TB</math> является расширением оператора <math>B T</math>: <math> B T \subseteq T B</math>. Если операторы <math>B</math> и <math>T</math> определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если <math> B T = T B </math>. В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующимиШаблон:Sfn. В общем случае равенство <math> B T = T B </math> неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор <math>B^{-1}</math> не будет перестановочен с <math>B</math>, если <math>B^{-1}</math> определён не на всём пространстве — тогда операторы <math>B B^{-1}</math> и <math>B^{-1} B </math> будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: <math> B \cup T </math> или <math> B \smile T </math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Свойства
- Если оператор <math>B</math> перестановочен с <math>T_1</math> и перестановочен с <math>T_2</math>, то <math>B</math> также перестановочен с <math>T_1 + T_2</math> и <math> T_1 T_2</math>.
- Если <math>B_1</math> перестановочен с <math>T</math> и <math>B_2</math> перестановочен с <math>T</math>, то операторы <math>B_1 + B_2</math> и <math>B_1 B_2</math> перестановочны с <math>T</math>.
- Если <math> B</math> перестановочен с <math>T</math> и существует <math>T^{-1}</math>, то <math>B</math> перестановочен с <math>T^{-1}</math>.
- Если <math>B</math> перестановочен с каждым из операторов <math>T_n \, (n = 1, 2, \dots)</math>, то <math>B</math> перестановочен с <math>\lim\limits_{n \to \infty} T_n</math>.
- Если каждый из операторов <math>B_n \, (n = 1, 2, \dots) </math> перестановочен с <math>T</math>, то <math>\lim\limits_{n \to \infty} B_n </math> перестановочен с <math>T</math> в предположении, что <math>\lim_{n \to \infty} B_n</math> ограничен, а <math>T</math> замкнут.
- Если <math>B</math> перестановочен с <math>T</math> и сопряжённый оператор <math>T^*</math> существует, то <math>B^*</math> перестановочен с <math>T^*</math>Шаблон:Sfn.
Случай конечномерного пространства
В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: <math> A B = B A</math>. Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы <math>X</math>, перестановочные с данной матрицей <math>A</math>. Все решения задачи Фробениуса имеют вид
- <math> X = U X_A U^{-1}, </math>
где <math>X_A</math> — произвольная матрица, перестановочная с <math>A</math>, <math>U</math> — матрица, приводящая <math>A</math> к нормальной жордановой форме <math>J</math>: <math> A = U J U^{-1} </math>. Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:
- <math> N = n_1 + 3 n_2 + \dots + (2t - 1) n_t,</math>
где <math>n_1, n_2, \dots, n_t</math> — степени непостоянных инвариантных многочленов <math>i_1(\lambda), i_2(\lambda), \dots, i_t(\lambda)</math> матрицы <math>A</math>.
Если линейные операторы <math>A_1, A_2, \dots, A_m</math> в конечномерном пространстве <math>R</math> попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство <math>R</math> на инвариантные относительно всех операторов <math>A_i</math> подпространства:
- <math>R = I_1 + I_2 + \dots + I_m</math>
так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов <math>A_i</math> был степенью неприводимого многочленаШаблон:Sfn.
Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный векторШаблон:Sfn. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов <math>A_1, A_2, \dots</math> в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованиемШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
