Русская Википедия:Перестройка Морса
Хирургия, или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.
Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения <math>f:M \to X</math> замкнутого многообразия <math>M</math> в клеточное пространство <math>X</math> существуют такой бордизм <math>(W; M, N)</math> и такое отображение <math>F:W \to X</math>, что <math>F|_M=f</math>, а <math>F|_N :\to X</math> является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов <math>f^*:\pi_k(M)\to \pi_k(X)</math> (где <math>\pi_k</math> — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической Шаблон:Iw.
Конструкция
Пусть <math>V</math> — гладкое <math>n</math>-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена <math>(k-1)</math>-мерная сфера <math>S^{k-1}</math>. Предположим, что нормальное расслоение сферы <math>S^{k-1}</math> в многообразии <math>V</math> тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность <math>T</math> сферы <math>S^{k-1}</math> в <math>V</math> разлагается в прямое произведение <math>T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}</math>, где <math>D^{n-k+1}</math> — диск размерности <math>n-k+1</math>. Выбрав такое разложение, вырежем из <math>V</math> внутренность окрестности <math>T</math>. Получится многообразие, край которого разложен в произведение <math>S^{k-1}\times S^{n-k}</math> сфер. Точно такой же край имеет многообразие <math>D^{k}\times S^{n-k}</math>. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие <math>V'</math> без края, которое и называется результатом хирургии многообразия <math>V</math> вдоль сферы <math>S^{k-1}</math>.
Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности <math>T</math> сферы <math>S^{k-1}</math> в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы <math>S^{k-1}</math> в многообразии <math>V</math>, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия <math>V'</math>.
Число <math>k</math> называется индексом хирургии, а пара <math>(k, n-k+1)</math> её типом. Если <math>V'</math> получается из <math>V</math> хирургией типа <math>(i, j)</math>, то <math>V</math> получается из <math>V'</math> хирургией типа <math>(j,i)</math>. При <math>k=0</math> многообразие <math>V'</math> является дизъюнктным объединением многообразия <math>V</math> (которое может быть в этом случае пустым) и сферы <math>S^n</math>.
Примеры
- При <math>V=S^2</math> и <math>k=2</math> в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при <math>k=1</math> — тор.
- При <math>V= S^3</math> и <math>k= 2</math> получается произведение <math>S^1\times S^2</math>.
- Случай <math>V=S^3</math> и <math>k=1</math> сложнее: если сфера <math>S^1</math> вложена в <math>S^3</math> стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы <math>S^1</math>, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.
Свойства
- Если <math>V</math> является краем <math>(n+1)</math>-мерного многообразия <math>M</math>, то <math>V'</math> будет краем многообразия <math>M'</math>, полученного из <math>M</math> приклеиванием ручки индекса <math>k</math>.
- В частности, если <math>f</math> — гладкая функция на многообразии <math>M</math> и <math>a<b</math> — такие числа, что множество <math>f^{-1}([a,b])</math> компактно и содержит единственную критическую точку <math>p</math>, которая невырождена, то многообразие <math>V_b=f^{-1}(b)</math> получается из многообразия <math>V_a=f^{-1}(a)</math> хирургией индекса <math>k</math>, где <math>k</math> — индекс Морса критической точки <math>p</math>.
- Более общим образом, любая перестройка <math>V'</math> многообразия <math>V</math> индекса <math>k</math> определяет некоторый бордизм <math>(W; V, V')</math>, и на триаде <math>(W; V, V')</math> существует
- функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса <math>k</math>, причем любой бордизм <math>(W; V, V')</math>, на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
- Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
- При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.
Вариации и обобщения
- Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.
