Русская Википедия:Периодическая последовательность
Периодическая последовательность — это последовательность, для которой те же самые элементы повторяются снова и снова:
- <math>a_1,a_2,\dots,a_p,\,a_1,a_2,\dots,a_p,\,a_1,a_2,\dots,a_p,\dots</math>
Число p повторяющихся элементов называется периодомШаблон:R.
Определение
Периодическая последовательность (с периодом p) или p-периодическая последовательность — это последовательность <math>a_1,a_2,a_3,\dots</math>, удовлетворяющая соотношению <math>a_{n+p}=a_n</math> для всех значений nШаблон:RШаблон:RШаблон:RШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее p, для которой периодическая последовательность p-периодична, называется её наименьшим периодомШаблон:RШаблон:R.
Примеры
Любая постоянная функция 1-периодичнаШаблон:Sfn.
Последовательность <math>1,2,1,2,1,2,\dots</math> периодична с наименьшим периодом 2Шаблон:R.
Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:
- <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857\,142857\,142857\,\ldots</math>
Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже)Шаблон:R.
Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:
- <math>-1,1,-1,1,-1,1,\ldots</math>
Вообще, последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.
Периодическая точка для функции Шаблон:Math — это точка Шаблон:Mvar, Шаблон:Нп5 которой
- <math>x,\, f(x),\, f(f(x)),\, f^3(x),\, f^4(x),\, \ldots</math>
является периодической последовательностью. Здесь <math>f^n(x)</math> означает Шаблон:Nowrap композицию функции Шаблон:Mvar, применённую к Шаблон:MvarШаблон:R. Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества на себя имеет периодическую точку. Нахождение цикла является алгоритмической задачей поиска такой точки.
Тождества
Частичные суммы
- <math>\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k \cdot \sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n}</math> Где k и m<p являются натуральными числами.
Частичные произведения
- <math>\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k \cdot \prod_{n=1}^{m} a_{n}</math> Где k и m<p являются натуральными числами.
Периодические 0, 1 последовательности
Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:
- <math>\sum_{k=1}^{1} \cos (-\pi\frac{n(k-1)}{1})/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1...</math>
- <math>\sum_{k=1}^{2} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{2})/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0...</math>
- <math>\sum_{k=1}^{3} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{3})/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...</math>
- <math>...</math>
- <math>\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1</math> последовательность с периодом N
Обобщения
Последовательность в конечном итоге периодическая, если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа 1/56 в конечном итоге периодична:
- 1 / 56 = 0,017 857142 857142 857142 ...Шаблон:R.
Последовательность асимптотически периодична, если её члены стремятся к периодической последовательности. То есть, последовательность <math>x_1,x_2,x_3,\dots</math> асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность <math>a_1,a_2,a_3,\dots</math>, для которой
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.</math>Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn
Например, последовательность
- 1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5, ...
асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
Примечания
Литература
Шаблон:Refend Шаблон:Последовательности и ряды
