Русская Википедия:Периодическая функция
Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
Говоря более формально, функция называется периодической с периодом <math>T\ne 0</math>, если для каждой точки <math>x</math> из её области определения точки <math>x+T</math> и <math>x-T</math> также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство <math>f(x)= f(x+T)= f(x-T)</math>.
Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство <math>f(x)=f(x+nT)</math>, где <math>n</math> — любое целое число.
Все тригонометрические функции являются периодическими.
Формальное определение
Пусть <math>M</math> есть абелева группа (обычно предполагается <math>M=(\R,+)</math> — вещественные числа с операцией сложения или <math>(\mathbb C,+)</math> — комплексные числа). Функция <math>f: M \to N</math> (где <math>N</math> — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом <math>T \not= 0</math> , если справедливо
- <math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.
Если это равенство не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math> , то функция <math>f</math> называется апериоди́ческой.
Если для функции <math>f: \mathbb C \to N</math> существуют два периода <math>T_1, T_2\not= 0</math>, отношение которых не равно вещественному числу, то есть <math>\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}</math>, то <math>f</math> называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения <math>f</math> на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на <math>T_1, T_2</math>.
Замечание
Период функции определён неоднозначно. В частности, если <math>T</math> — период, то и любой элемент <math>T'</math> вида <math>T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n</math> (или <math>T' = n T</math>, если в области определения функции определена операция умножения), где <math>n \in \mathbb{N}</math> — произвольное натуральное число, также является периодом.
Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.
Однако если у множества периодов <math>\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}</math> имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.
Примеры
- Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом <math>2\pi</math> , так как
- <math>\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.</math>
- Функция <math>f(x)=(-1)^x</math>, определённая на целых числах, является периодической с основным периодом <math>2</math>.
- Функция, равная константе <math>f(x) = \mathrm{const}</math>, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
- Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
- Функция <math>f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}</math> является апериодической.
Некоторые особенности периодических функций
- Сумма двух функций с соизмеримыми периодами <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному <math>T_1</math> и <math>T_2</math> (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции <math>f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)</math> основной период равен <math>2\pi</math>, у функции <math>g(x)=\sin(3x)</math> период равен <math>2\pi/3</math>, а у их суммы <math>f(x)+g(x)=\sin(2x)</math> основной период, очевидно, равен <math>\pi</math>.
- Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
- Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции <math>f(x)</math>, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.
См. также
Ссылки
