Русская Википедия:Перпендикулярность
Перпендикуля́рность (от Шаблон:Lang-lat — букв. отвесный)[1] — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).
Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых <math>m</math> и <math>n</math> записывают как <math>m\perp n</math>.
На плоскости
Перпендикулярные прямые на плоскости
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.
Про прямую <math>m</math> перпендикулярную к прямой <math>\ell</math> проведённую через точку <math>P</math> вне прямой <math>\ell</math>, говорят, что <math>m</math> есть перпендикуляр опущенный из <math>P</math> на <math>\ell</math>. Если же точка <math>P</math> лежит на прямой <math>\ell</math>, то говорят, что <math>m</math> есть перпендикуляр к восстановленный из <math>P</math> к <math>\ell</math> (устаревший термин восставленный[2]).
В координатах
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями
- <math>y=a\cdot x+b</math>
и
- <math>y=k\cdot x+ m</math>
будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты
- <math>a\cdot k=-1.</math>
Построение перпендикуляра
Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.
Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
Пусть прямая задаётся точками <math>A(x_a,y_a)</math> и <math>B(x_b,y_b)</math>. На прямую опускается перпендикуляр из точки <math>P(x_p,y_p)</math>. Тогда основание перпендикуляра <math>O(x_o,y_o)</math> можно найти следующим образом.
Если <math>x_a = x_b</math> (вертикаль), то <math>x_o = x_a</math> и <math>y_o = y_p</math>. Если <math>y_a = y_b</math> (горизонталь), то <math>x_o = x_p</math> и <math>y_o = y_a</math>.
Во всех остальных случаях:
- <math>x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2}</math>;
- <math>y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p</math>.
В трёхмерном пространстве
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
- Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
- Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
- Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[3].
В многомерных пространствах
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно <math>\tbinom{4}{2}=6</math>: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство <math>\mathbb{R}^n</math>(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство <math>W^n</math>, а прямая l с направляющим векторным пространством <math>L^1</math> и гиперплоскость <math>\Pi_{k}</math> с направляющим векторным пространством <math>L^{k}</math> (где <math>L_1 \subset W^n</math>, <math>L^k \subset W^n,\ k < n </math>) принадлежат пространству <math>\mathbb{R}^n</math>.
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости <math>\Pi_{k}</math>, если подпространство <math>L_1</math> ортогонально подпространству <math>L^{k}</math>, то есть <math>(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0</math>
Вариации и обобщения
- В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности <math>\Gamma</math>.
- В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
- В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности <math>\Gamma</math>, если она проходит через центр последней.
См. также
Примечания
- ↑ Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
