Русская Википедия:Пифагорова тройка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Pythagorean.svg

Теорема Пифагора: Шаблон:Nowrap

Файл:Pythagorean theorem - Ani.gif

Анимация простейшей пифагоровой тройки: Шаблон:S

Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел <math>(x,\;y,\;z),</math> удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

<math>x^2 + y^2 = z^2.</math>

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.

Примитивные тройки

Поскольку уравнение <math> x^2 + y^2 = z^2</math> однородно, при умножении <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка <math>(x,y,z)</math> называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если <math>x,\;y,\;z</math> являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки <math>(x,y,z)</math> равен 1.

В примитивной тройке <math>(x,y,z)</math> числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а <math>z</math> — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка <math>(x,y,z)</math>, где <math>x</math> — нечётно, а <math>y</math> — чётно, однозначно представляется в виде <math>(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2)</math> для некоторых натуральных взаимно простых чисел <math>m > n</math> разной чётности.

Эти числа можно вычислить по формулам

<math>\begin{cases}

m = \sqrt{\dfrac{z + x}{2}} = \dfrac{\sqrt{z + y} + \sqrt{z - y}}{2}, \\
n = \sqrt{\dfrac{z - x}{2}} = \dfrac{\sqrt{z + y} - \sqrt{z - y}}{2}.

\end{cases}</math> Наоборот, любая такая пара чисел <math>(m,\;n)</math> задаёт примитивную пифагорову тройку <math>(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2)</math>.

Примеры

Файл:Pythagorean Triples Scatter Plot.png

Диаграмма рассеяния катетов <math>(a, b)</math> пифагоровых троек с катетами, не превышающими 6000. Отрицательные значения включены для демонстрации параболических узоров

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с <math>z \leqslant 100</math>:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Не все тройки с <math>z \leqslant 100</math> примитивны, например, (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5). Каждая из троек с небольшой гипотенузой образует хорошо различимую радиальную прямую из кратных ей троек на диаграмме рассеяния.

Примитивные тройки с <math>100 < z \leqslant 300</math>:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Возможные значения <math>z</math> в пифагоровых тройках образуют последовательность (Шаблон:OEIS)

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно образовывать из этих чисел, например, такие пифагоровы тройки:

<math>x = F_n F_{n+3}; \quad y = 2F_{n+1}F_{n+2}; \quad z = F_{n+1}^2 + F^2_{n+2}.</math>

История

Файл:Plimpton 322.jpg

Табличка Plimpton 322

Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки. Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел <math>a,c</math>, таких что <math>a^2 + b^2 = c^2</math>). Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.

Генерация троек

Примитивные пифагоровы тройки, показанные как треугольники на графе

Примитивные пифагоровы тройки. Нечётный катет <math>a</math> отложен на горизонтальной оси, а чётный катет <math>b</math> — на вертикальной. Криволинейная сетка построена из кривых с постоянными величинами <math>m - n</math> и <math>m + n</math> в формуле Евклида

Файл:Pythagorean Triples from Grapher.png

Диаграмма треугольников, полученных из формулы Евклида, показывающая часть конуса <math>z^2 = x^2 + y^2</math>, константы <math>m</math> или <math>n</math> задают след параболы на конусе

Формула Евклида является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел <math>m</math> и <math>n</math> (<math>m > n</math>) целые числа

<math>a = m^2 - n^2,\ b = 2mn,\ c = m^2 + n^2</math>

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты и <math>m - n</math> нечётно. Если и <math>m</math>, и <math>n</math> нечётны, то <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> на 2 даёт примитивную тройку, если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты.

Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел <math>m</math> и <math>n</math>, одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра <math>k</math> получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

<math>a = k \cdot (m^2 - n^2),\ b = k \cdot (2mn),\ c = k \cdot (m^2 + n^2),</math>

где <math>m</math>, <math>n</math> и <math>k</math> — натуральные числа, <math>m > n</math>, <math>m - n</math> нечётно, <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты.

То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в <math>a^2 + b^2</math> и проверки, что результат совпадает с <math>c^2</math>. Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое <math>k</math>, чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием <math>m</math> и <math>n</math> для создания примитивной тройки, а затем она умножается на <math>k</math>.

Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

Доказательство формул Евклида

Тот факт, что числа <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых <math>m</math> и <math>n</math>, <math>m > n</math>, поскольку после подстановки в формулы <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> будут положительными числами, а также из того, что выполняется

<math>a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 = c^2.</math>

Обратное утверждение, что <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего. Все такие тройки можно записать в виде (<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>), где <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, и <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> являются взаимно простыми, а <math>b</math> и <math>c</math> имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если <math>c</math> имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности <math>a^2 + b^2</math> даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному <math>c^2</math>.) Из <math>a^2 + b^2 = c^2</math> мы получаем <math>c^2 - a^2 = b^2</math>, а следовательно, <math>(c - a)(c + a) = b^2</math>. Тогда <math>(c + a)/b = b/(c - a)</math>. Поскольку <math>(c + a)/b</math> является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби <math>m/n</math>. Мы отсюда же получаем, что дробь <math>(c - a)/b</math> равна <math>n/m</math>. Решая уравнения

<math>\frac{c}{b} + \frac{a}{b} = \frac{m}{n},\ \frac{c}{b} - \frac{a}{b} = \frac{n}{m}</math>

относительно <math>c/b</math> и <math>a/b</math>, получим

<math>\frac{c}{b} = \frac{m^2 + n^2}{2mn},\ \frac{a}{b} = \frac{m^2 - n^2}{2mn}.</math>

Поскольку <math>c/b</math> и <math>a/b</math> несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь <math>m/n</math> тоже несократима, откуда следует, что <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда <math>m</math> и <math>n</math> имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А <math>m</math> и <math>n</math> должны иметь противоположную чётность — оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление <math>(m^2 + n^2)/(2mn)</math> на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна <math>c/b</math>, в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида <math>a = m^2 - n^2</math>, <math>b = 2mn</math>, <math>c = m^2 + n^2</math> с <math>m</math> и <math>n</math> взаимно простыми и имеющими различную чётность.

Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007) и СерпинскогоШаблон:Sfn.

Интерпретация параметров в формуле Евклида

Пусть стороны пифагорова треугольника равны <math>m^2 - n^2</math>, <math>2mn</math> и <math>m^2 + n^2</math>. Обозначим угол между катетом <math>m^2 - n^2</math> и гипотенузой <math>m^2 + n^2</math> буквой <math>\theta</math>. ТогдаШаблон:Sfn

<math>\operatorname{tg}\theta = \frac{2mn}{m^2 - n^2},</math>

<math>\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{m - n}{m + n}.</math>

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек

Свойства примитивной пифагоровой тройки Шаблон:Math, где Шаблон:Math (без указания чётности чисел Шаблон:Math или Шаблон:Math):

• <math>(c - a)(c - b)/2</math> всегда является полным квадратомШаблон:Sfn. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка (6, 12, 18) проходит этот тест, поскольку Шаблон:Math является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar образует пифагорову тройку, то число (Шаблон:Mvar минус чётный катет) и половина числа (Шаблон:Mvar минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка (1, 8, 9) является контрпримером, поскольку 1² + 8² ≠ 9².
• Максимум одно из чисел Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar является квадратом.
• Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратомШаблон:Sfn или удвоенным квадратомШаблон:Sfn натурального числа.
• В точности одно из чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar нечётно, Шаблон:Mvar всегда нечётноШаблон:Sfn.
• В точности одно из чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar делится на 3.Шаблон:Sfn
• В точности одно из чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar делится на 4.Шаблон:Sfn
• В точности одно из чисел Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar делится на 5.Шаблон:Sfn
• Максимальное число, которое всегда делит произведение Шаблон:Mvar, равно 60.Шаблон:Sfn
• Все простые множители Шаблон:Mvar являются [[Простое число Пифагора|простыми вида 4Шаблон:Mvar + 1]]Шаблон:Sfn. Таким образом, Шаблон:Mvar имеет вид 4Шаблон:Mvar + 1.
• Число (Шаблон:Mvar − Шаблон:Mvar) является произведением простых чисел вида Шаблон:Math, то есть не имеет таких сомножителей, как 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, ...
• Площадь (Шаблон:Math) является чётным конгруэнтным числом.
• В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен Шаблон:Math, а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов Шаблон:Math, Шаблон:Math, и гипотенузы Шаблон:Math равны соответственно Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:MathШаблон:Sfn.
• Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен Шаблон:Sqrt, радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar имеют разную чётность).
• Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых Шаблон:Math соответственно. Эти числа Шаблон:Math удовлетворяют уравнению декартовых окружностейШаблон:Sfn. Эквивалентно, радиус Шаблон:Не переведено 5 любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — прямоугольник, Шаблон:Mvar — прямоугольный треугольник, а Шаблон:Mvar — его гипотенуза.Шаблон:Sfn
• Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольникеШаблон:Sfn.
• Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равноШаблон:Sfn

  <math>\frac{K}{s^2} = \frac{n(m - n)}{m(m + n)} = 1 - \frac{c}{s}.</math>

• Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающаяся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.Шаблон:Sfn

Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:

• Любое целое, большее 2, которое не Шаблон:Не переведено 5 (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4Шаблон:Mvar + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.
• Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство Шаблон:Math, приводящее к тройкам (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), и т. д. Более общее утверждение: для любого нечётного целого Шаблон:Mvar существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на Шаблон:Math.
• Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого Шаблон:Math, существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на Шаблон:Math.
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20² + 21² = 29².
• Для любого натурального Шаблон:Mvar существует Шаблон:Mvar пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.
• Для любого натурального Шаблон:Mvar существует по меньшей мере Шаблон:Mvar различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — некоторое натуральное число
• Для любого натурального Шаблон:Mvar существует по меньшей мере Шаблон:Mvar различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.Шаблон:Sfn
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза Шаблон:Mvar и сумма катетов Шаблон:Math. В наименьшей такой тройкеШаблон:Sfn Шаблон:Mvar = Шаблон:Число; Шаблон:Mvar = Шаблон:Число; Шаблон:Mvar = Шаблон:Число. Здесь Шаблон:Math = Шаблон:Число² и Шаблон:Math = Шаблон:Число². В формуле Евклида эти значения соответствуют Шаблон:Mvar = Шаблон:Число и Шаблон:Mvar = Шаблон:Число.
• Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. Ни один из разбиваемых треугольников не образован примитивной тройкойШаблон:Sfn.
• Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое Шаблон:Не переведено 5 естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек.

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки с одинаковым произведением входящих в них чисел.

Геометрия формулы Евклида

Файл:Pythagorean triple and rational point on unit triangle 1.svg

3, 4, 5 отображается в точку (4/5, 3/5) единичной окружности

Файл:Stereographic projection of rational points.png

Рациональные числа на окружности соответствуют при стереографической проекции рациональным точкам прямой

Формулу Евклида для пифагоровой тройки

<math>a = m^2 - n^2,\ b = 2mn,\ c = m^2 + n^2</math>

можно понять в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности Шаблон:Sfn. Пусть имеется треугольник с катетами Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar и гипотенузой Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — положительные целые. По теореме Пифагора Шаблон:Math, а после деления обеих сторон на Шаблон:Mvar²

<math>\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1.</math>

Геометрически, точка на декартовой плоскости с координатами

<math>x = \frac{a}{c},\ y = \frac{b}{c}</math>

лежит на единичной окружности Шаблон:Math. В этом уравнении координаты Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar задаются рациональными числами. И обратно, любая точка на окружности с рациональными координатами Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar даёт примитивную пифагорову тройку. В самом деле, запишем Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar как несократимые дроби:

<math>x = \frac{a}{c},\ y = \frac{b}{c},</math>

где наибольший общий делитель чисел Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar равен 1. Поскольку точка с координатами Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar лежит на единичной окружности, то

<math>\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 \implies a^2 + b^2 = c^2,</math>

что и требовалось доказать.

Файл:Stereoprojzero.svg

Стереографическая проекция единичной окружности на ось Шаблон:Mvar. Если задана точка Шаблон:Mvar на единичной окружности, проведём прямую из точки Шаблон:Mvar в точку Шаблон:Mvar = (0, 1) (северный полюс). Прямая пересекает ось Шаблон:Mvar в точке Шаблон:Mvar, которая является стереографической проекцией точки Шаблон:Mvar. И наоборот, начав с точки Шаблон:Mvar на оси Шаблон:Mvar, проводим прямую, проходящую через Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, и обратная стереографическая проекция — это точка Шаблон:Mvar, в которой прямая пересекает окружность

Таким образом, существует соответствие между Шаблон:Не переведено 5 и примитивными пифагоровыми треугольниками. Исходя из этого, формулы Евклида можно получить методами тригонометрии или с использованием стереографической проекции.

Для применения стереографического подхода предположим, что Шаблон:Mvar является точкой на оси Шаблон:Mvar с рациональными координатами

<math>P' = \left(\frac{m}{n}, 0\right).</math>

Тогда с помощью алгебраических вычислений можно показать, что точка Шаблон:Mvar имеет координаты

<math>

P = \left(

\frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2 + 1},
\frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2 - 1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2 + 1}

\right) = \left(

\frac{2mn}{m^2 + n^2},
\frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2}

\right).</math>

Таким образом, получаем, что любая Шаблон:Не переведено 5 оси Шаблон:Mvar соответствует рациональной точке единичной окружности. И обратно, пусть Шаблон:Math — точка единичной окружности с рациональными координатами Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Тогда стереографическая проекция Шаблон:Mvar на ось Шаблон:Mvar имеет рациональные координаты

<math>\left(\frac{x}{1 - y}, 0\right).</math>

В терминах алгебраической геометрии алгебраическое многообразие рациональных точек единичной окружности является бирациональным к аффинной прямой над рациональными числами. Единичная окружность тогда называется рациональной кривой. Соответствие рациональных точек прямой и окружности даёт возможность дать явную параметризацию (рациональных) точек на окружности с помощью рациональных функций.

Группа пифагоровых троек

Любая рациональная точка на единичной окружности соответствует пифагоровой тройке Шаблон:Math, точнее — обобщённой пифагоровой тройке, так как Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar могут быть нулевыми и отрицательными.

Пусть даны два пифагоровых треугольника Шаблон:Math и Шаблон:Math с углами Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Можно построить треугольники с углами Шаблон:Math, используя формулы сложения углов:

<math>\frac{a}{c} = \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \pm \cos (\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{a_1b_2 \pm b_1a_2}{c_1c_2},</math>

<math>\frac{b}{c} = \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{b_1b_2 \mp a_1a_2}{c_1c_2}.</math>

Эти прямоугольные треугольники тоже будут целочисленными, то есть пифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используя вышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной и ассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелеву группуШаблон:Sfn.

Пифагоровы тройки на двумерной решётке

Двумерная решётка — это набор изолированных точек, в котором, если выбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точки имеют координаты Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Любую пифагорову тройку Шаблон:Math можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами Шаблон:Math и Шаблон:Math. По теореме Пика число точек решётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой <math>[(a - 1)(b - 1) - \gcd(a, b) + 1]/2</math>Шаблон:Sfn. Для примитивных пифагоровых троек число точек решётки равно <math>(a - 1)(b - 1)/2</math>, и это сравнимо с площадью треугольника <math>ab/2.</math>

Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровых троек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210Шаблон:RefOEIS. Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки появляется лишь на (Шаблон:Число, Шаблон:Число, Шаблон:Число), (Шаблон:Число, Шаблон:Число, Шаблон:Число) с числом точек Шаблон:ЧислоШаблон:RefOEIS. Найдены три примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, Шаблон:Число, Шаблон:Число) и площадью Шаблон:Число. Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено.

Спиноры и модулярная группа

Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц вида

<math>X = \begin{bmatrix}

c + b & a     \\
a     & c - b

\end{bmatrix}. </math> Матрица этого вида симметрична. Кроме того, её определитель

<math>\det X = c^2 - a^2 - b^2</math>

равен нулю в точности тогда, когда Шаблон:Math является пифагоровой тройкой. Если Шаблон:Mvar соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.

Поскольку Шаблон:Mvar симметрична, из линейной алгебры известно, что существует вектор Шаблон:Math, такой, что для внешнего произведения выполняется

<math>X = 2 \begin{bmatrix} m \\ n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m & n \end{bmatrix} = 2 \xi \xi^T,</math>   (1)

где T означает транспонирование. Вектор Шаблон:Mvar называется спинором (для группы Лоренца SO(1, 2). В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).

Модулярная группа Шаблон:Math — это множество матриц 2 × 2 с целыми элементами

<math>A = \begin{bmatrix}

\alpha & \beta \\
\gamma & \delta

\end{bmatrix}</math>

и определителем, равным единице: Шаблон:Math. Это множество образует группу, поскольку обратная к матрице из Шаблон:Math является снова матрицей из Шаблон:Math, как и произведение двух матриц из Шаблон:Math. Модулярная группа действует на множество всех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на множестве целых спиноров со взаимно простыми элементами. Если Шаблон:Math содержит взаимно простые элементы, то

<math>\begin{bmatrix}

m & -v \\
n & u

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}

1 \\ 0

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

m \\
n

\end{bmatrix},</math>

где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar выбраны (с помощью алгоритма Евклида) так, что Шаблон:Math.

Действуя на спинор Шаблон:Mvar в (1), действие в Шаблон:Math переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. Если Шаблон:Mvar — матрица в Шаблон:Math, то

<math>2(A\xi)(A\xi)^T = A X A^T</math>   (2)

даёт начало действиям на матрицу Шаблон:Mvar в (1). Это не даёт хорошо определённое действие на примитивные тройки, поскольку оно может переводить примитивную тройку в непримитивную. В этом месте принято (следуя ТраутмануШаблон:Sfn) называть тройку Шаблон:Math стандартной, если Шаблон:Math и либо Шаблон:Math взаимно просты, либо Шаблон:Math взаимно просты и Шаблон:Math нечётно. Если спинор Шаблон:Math имеет взаимно простые элементы, то связанная тройка Шаблон:Math, задаваемая формулой (1), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Альтернативно, ограничимся теми значениями Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, для которых Шаблон:Mvar нечётно, а Шаблон:Mvar чётно. Пусть подгруппа Шаблон:Math(2) группы Шаблон:Math — ядро гомоморфизма

<math>\Gamma = \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}) \to \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}_2),</math>

где Шаблон:Math — специальная линейная группа над конечным полем Шаблон:Math целых по модулю 2. Тогда Шаблон:Math(2) является группой унимодулярных преобразований, которая сохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора Шаблон:Mvar нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для Шаблон:Mvar для всех Шаблон:Math. Фактически под действием (2) группа Шаблон:Math(2) действует транзитивно на множество примитивных пифагоровых троекШаблон:Sfn.

Группа Шаблон:Math(2) является свободной группой, генераторами которой являются матрицы

<math>U = \begin{bmatrix}

1 & 2 \\
0 & 1

\end{bmatrix}, \qquad L = \begin{bmatrix}

1 & 0 \\
2 & 1

\end{bmatrix}.</math> Поэтому любая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным образом как произведение копий матриц Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar.

Отношения «родитель — потомок»

Как показал БерггренШаблон:Sfn, все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с использованием трёх линейных преобразований T1, T2, T3, где a, b, c являются сторонами тройки:

	новая сторона a	новая сторона b	новая сторона c
T1:	a − 2b + 2c	2a − b + 2c	2a − 2b + 3c
T2:	a + 2b + 2c	2a + b + 2c	2a + 2b + 3c
T3:	−a + 2b + 2c	−2a + b + 2c	−2a + 2b + 3c

Если начать с 3, 4, 5, то все другие примитивные тройки, в конечном счёте, будут получены. Другими словами, любая примитивная тройка будет «родителем» 3 дополнительным примитивным тройкам. Если начать с a = 3, b = 4 и c = 5, то следующим поколением троек будет

новая сторона a	новая сторона b	новая сторона c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2×4) + (2×5) = 21	(2×3) + 4 + (2×5) = 20	(2×3) + (2×4) + (3×5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Линейные преобразования T1, T2 и T3 имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм. Они тесно связаны (но не эквивалентны) с отражениями, генерируемыми ортогональной группой x² + y² − z² над целыми числами. Другое множество трёх линейных преобразований обсуждается в статье Шаблон:Не переведено 5.

Связь с гауссовыми целыми числами

Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощью гауссовых целых чиселШаблон:Sfn. Гауссовы целые — это комплексные числа вида α = u + vi, где u и v обычные целые числа, а i — корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых — это ±1 и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z. Гауссовы целые обозначаются Z[i]. Правая часть теоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:

<math>c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).</math>

Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a и b взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Для таких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюда следует, что c также нечётно.

Каждый из двух множителей z = a + bi и z* = a — bi примитивной пифагоровой тройки равен квадрату гауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любое гауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простые с точностью до единицы. (Единственность разложения, грубо говоря, следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида) Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a и b не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простых общих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. И наконец, поскольку c² является квадратом, любое гауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z и z* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z* являются квадратами.

Таким образом, первый множитель можно записать в виде

<math>a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2, \quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}.</math>

Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:

<math>\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn; \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn; \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right); \\ \varepsilon = -i, & \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right).\end{cases}</math>

Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целые m и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.

Как полный квадрат гауссовых целых

Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретацию формул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.

<math>(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.</math>

Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областью и то, что для гауссовых целых p квадрат модуля <math>|p|^2</math> всегда является полным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуют квадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простым числом.

Распределение троек

Файл:Pythagorean triple scatterplot.svg

Диаграмма рассеяния катетов (a,b) пифагоровых троек с a и b не превосходящими 4500

Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. В диаграмме рассеяния проявляются некоторые очевидные закономерности. Если катеты (a, b) примитивной тройки появляются на диаграмме, то и все произведения на целое число этих катетов должны также быть на диаграмме, и это свойство объясняет появление на диаграмме радиальных прямых из начала координат.

На диаграмме наблюдаются множества парабол с высокой плотностью точек, имеющих фокусы в начале координат. Параболы отражаются от осей с углом 45 градусов, и в той же точке третья парабола подходит к оси перпендикулярно.

Эти узоры можно объяснить следующим образом. Если <math>a^2/4n</math> натуральное число, то (a, <math>|n - a^2/4n|</math>, <math>n + a^2/4n</math>) является пифагоровой тройкой. (Фактически, любая пифагорова тройка (a, b, c) может быть записана таким образом с целым n, возможно, после обмена a и b местами, поскольку <math>n = (b + c)/2</math> и a, b не могут быть одновременно нечётными.) Пифагоровы тройки лежат тогда на кривых, заданных уравнениями <math>b = |n - a^2/4n|</math>. Таким образом, параболы отражаются от оси a, а соответствующие кривые с a и b меняются местами. Если a меняется при заданном n (то есть на выбранной параболе), целые значения b появляются относительно часто, если n является квадратом или произведением квадрата на небольшое число. Если некоторые такие значения лежат близко друг от друга, соответствующие параболы почти совпадают и тройки образуют узкую параболическую ленту. Например, 38² = 1444, 2 × 27² = 1458, 3 × 22² = 1452, 5 × 17² = 1445 и 10 × 12² = 1440. Соответствующая параболическая лента около n ≈ 1450 чётко видна на диаграмме рассеяния.

Угловые свойства, описанные выше следуют немедленно из функционального вида парабол. Параболы отражаются от оси a в точке a = 2n и производная b по a в этой точке равна −1. Таким образом, угол наклона равен 45°. Поскольку кластеры, как и треугольники, повторяются при умножении на целую константу, значение 2n тоже принадлежит кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом в точке b = 2n, а потому является симметричным отражением параболы, которая получается обменом переменных a и b и которая пересекает ось a под прямым углом в точке a = 2n.

Альберт Фесслер (Шаблон:Lang-de2) и др. показали значимость этих парабол в контексте конформных отображенийШаблон:Sfn.

Специальные случаи

Последовательность Платона

Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл, в своём комментарии к 47-му утверждению в первой книге Начал Евклида, описывает это следующим образом:

Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легко получить, один из них принадлежит Платону, другой — Пифагору. (Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число в качестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычел единицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец, он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу.

…Метод Платона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное число в качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрат и добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даёт второй катет. … И это даёт тот же треугольник, что и другой метод.

В виде уравнений:

• a нечётно (Пифагор, 540 до н. э.):

  <math>a : b = \frac{a^2 - 1}{2} : c = \frac{a^2 + 1}{2}.</math>

• a чётно (Платон, 380 до н. э.):

  <math>a : b = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 1 : c = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 1.</math>

Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются из последовательности Платона (x, y, z) = p, (p² − 1)/2 и (p² + 1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения. Если в этой последовательности p заменить рациональной дробью m/n, получим 'стандартный' генератор троек 2mn, m² − n² и m² + n². Отсюда следует, что любой тройке соответствует рациональное значение p, которое можно использовать для получения подобного треугольника с рациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет (3/2; 2, 5/2).

Уравнение Якоби — Маддена

Шаблон:Main Уравнение

<math>a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a + b + c + d)^4</math>

эквивалентно специальной диофантовой тройке

<math>(a^2 + ab + b^2)^2 + (c^2 + cd + d^2)^2 = ((a + b)^2 + (a + b)(c + d) + (c + d)^2)^2.</math>

Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можно получить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений:

<math>a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400,</math>

<math>a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150.</math>

Равные суммы двух квадратов

Один из способов генерации решений для <math>a^2 + b^2 = c^2 + d^2</math> — параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m, n, p, q следующим образом:

<math>(m^2 + n^2)(p^2 + q^2) = (mp - nq)^2 + (np + mq)^2 = (mp + nq)^2 + (np - mq)^2.</math>

Равные суммы двух четвёртых степеней

Если даны два набора пифагоровых троек:

<math>(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2,</math>

<math>(c^2 - d^2)^2 + (2cd)^2 = (c^2 + d^2)^2,</math>

то задача поиска равных произведений катета и гипотенузы

<math>(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (c^2 - d^2)(c^2 + d^2),</math>

как легко видеть, эквивалентна уравнению

<math>a^4 - b^4 = c^4 - d^4,</math>

то есть

<math>a^4 + d^4 = b^4 + c^4,</math>

для которого Эйлер получил решение <math>a, b, c, d = 133, 59, 158, 134</math>. Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкой эллиптической кривой, то существует бесконечное число решений. Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.

Теорема Декарта об окружностях

В случае Шаблон:Не переведено 5, когда все переменные являются квадратами,

<math>2(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2.</math>

Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам:

<math>(2ab)^2 + (2cd)^2 = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2,</math>

<math>(2ac)^2 + (2bd)^2 = (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2,</math>

<math>(2ad)^2 + (2bc)^2 = (a^2 - b^2 - c^2 + d^2)^2.</math>

Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специального случая <math>a + b = c</math> уравнение упрощается до

<math>4(a^2 + ab + b^2) = d^2,</math>

которое имеет решение с небольшими числами <math>a, b, c, d = 3, 5, 8, 14</math> и может быть решено как Шаблон:Не переведено 5.

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Имеются Шаблон:Не переведено 5 с целыми сторонами, у которых длины катетов отличаются на единицу, например:

<math>3^2 + 4^2 = 5^2,</math>

<math>20^2 + 21^2 = 29^2</math>

и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу

<math>\left(\frac{x - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{x + 1}{2}\right)^2 = y^2,</math>

где (x, y) являются решениями уравнения Пелля <math>x^2 - 2y^2 = -1</math>.

В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях

<math>5^2 + 12^2 = 13^2,</math>

<math>7^2 + 24^2 = 25^2,</math>

общим решением будет

<math>(2m + 1)^2 + (2m^2 + 2m)^2 = (2m^2 + 2m + 1)^2,</math>

откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются в примитивных пифагоровых тройках.

Обобщения

Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.

Пифагоровы четвёрки

Шаблон:Main Множество из четырёх натуральных чисел a, b, c и d, таких, что a² + b²+ c² = d² называется пифагоровой четвёркой. Простейший пример — (1, 2, 2, 3), поскольку 1² + 2² + 2² = 3². Следующий (примитивный) простейший пример — (2, 3, 6, 7), поскольку 2² + 3² + 6² = 7².

Все четвёрки задаются формулой

<math>(m^2+n^2-p^2-q^2)^2+(2mq+2np)^2+(2nq-2mp)^2=(m^2+n^2+p^2+q^2)^2.</math>

Пифагоровы n-наборы

Используя простое алгебраическое тождество

<math>(x_1^2 - x_0)^2 + (2x_1)^2 x_0 = (x_1^2 + x_0)^2</math>

для произвольных x₀, x₁, просто доказать, что квадрат суммы n квадратов сам является суммой n квадратов, для чего положим x₀ = x₂² + x₃² + … + x_n² и раскроем скобки. Можно легко видеть, что пифагоровы тройки и четвёрки являются просто частными случаями x₀ = x₂² и x₀ = x₂² + x₃² соответственно, что можно продолжать для других n, используя формулу для пятёрки квадратов

<math>(a^2 - b^2 - c^2 - d^2)^2 + (2ab)^2 + (2ac)^2 + (2ad)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2.</math>

Поскольку сумма F(k,m) k последовательных квадратов, начиная с m², задаётся формулой

<math>F(k,m) = km(k - 1 + m) + \frac{k(k - 1)(2k - 1)}{6},</math>

можно найти значения (k, m) такие, что F(k,m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёл формулу для последовательностей, в которых число членов само является квадратом,

<math>m = \frac{v^4 - 24v^2 - 25}{48}, k = v^2,\ F(m, k) = \frac{v^5 + 47v}{48}</math>

и v ⩾ 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3. Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошо известное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер:

<math>0^2 + 1^2 + 2^2 + \dots + 24^2 = 70^2,</math>

факт, который связан с решёткой Лича.

Кроме того, если в пифагоровом n-наборе (n ⩾ 4) все слагаемые являются последовательными натуральными числами, за исключением последнего, можно использовать равенство

<math>F(k, m) + p^2 = (p + 1)^2.</math>

Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейное уравнение, которое легко решается <math>p = (F(k, m) - 1)/2</math>, хотя k и m следует выбрать так, чтобы p был целым, и пример получаем при k = 5 и m = 1:

<math>1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 27^2 = 28^2.</math>

Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборов путём подбора x:

<math>x^2 + (x + 1)^2 + \dots + (x + q)^2 + p^2 = (p + 1)^2,</math>

где q = n − 2 и

<math>p = \frac12\left((q + 1)x^2 + q(q + 1)x + \frac{q(q + 1)(2q + 1)}{6} - 1\right).</math>

Великая теорема Ферма

Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральных чисел a, b и c, таких, что aⁿ + bⁿ = cⁿ для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 году высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма, поскольку её доказательство или опровержение отняло много больше времени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство было дано Уайлсом в 1994 году.

n — 1 или n n-х степеней как n-я степень

Шаблон:Main Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1 натуральных чисел, для которых n-я степень последнего члена последовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}.
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

В слегка отличном обобщении сумма (k + 1) n-х степеней приравнивается сумме (n − k) n-х степеней. Например:

• (n = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Может существовать также n − 1 n-х степеней натуральных чисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя, согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Эти последовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшие известные контрпримерыШаблон:Sfn

• n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Тройки треугольника Герона

Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, что стороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона (a, b, c), где a < b < c. Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов a и b является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова.

Если (a, b, c) является тройкой Герона, то таковой будет и (ma, mb, mc) при любом натуральном m, большим единицы. Тройка Герона (a, b, c) примитивна, если a, b и c попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколько троек Герона, не являющихся пифагоровыми:

(4, 13, 15) с площадью 24,

(3, 25, 26) с площадью 36,

(7, 15, 20) с площадью 42,

(6, 25, 29) с площадью 60,

(11, 13, 20) с площадью 66,

(13, 14, 15) с площадью 84,

(13, 20, 21) с площадью 126.

По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел (a, b, c) с a < b < c была тройкой Герона, необходимо, чтобы

(a² + b² + c²)² − 2 (a⁴ + b⁴ + c⁴)

или, что то же самое,

2 (a²b² + a²c² + b²c²) − (a⁴ + b⁴ + c⁴)

было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Использование

Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей.

См. также

• Геронов треугольник
• Шаблон:Не переведено 5
• Египетский треугольник
• Негипотенузное число
• Пифагорова четвёрка
• Простое число Пифагора
• Прямоугольный треугольник
• Сравнение по модулю
• Совершенный кубоид
• Теорема Пифагора
• Теорема Гильберта 90
• Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике
• Тригонометрические тождества
• Тройка Эйзенштейна
• Формула тангенса половинного угла
• Целочисленный треугольник

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Pythagorean Triples and the Unit Circle Шаблон:Wayback, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory Шаблон:Wayback» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья arXiv
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:MathWorld