Русская Википедия:Пифагорова четвёрка
Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел <math>(a,b,c,d)</math> таких, что <math>a^2 + b^2 + c^2 = d^2</math>, при этом d > 0. Пифагорова четвёрка <math>(a,b,c,d)</math> определяет прямоугольный параллелепипед с длинами сторон |a|, |b| и |c|, диагональ которого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называются пифагоровыми блоками[1].
Параметризация примитивных четвёрок
Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию[2][3][4]
- <math> a = m^2+n^2-p^2-q^2,</math>
- <math> b = 2(mq+np),</math>
- <math> c = 2(nq-mp),</math>
- <math> d = m^2+n^2+p^2+q^2,</math>
где m, n, p, q — натуральные целые, НОД(m, n, p, q) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега[5]
- <math>(m^2 + n^2 + p^2 + q^2)^2 = (2mq + 2np)^2 + (2nq - 2mp)^2 + (m^2 + n^2 - p^2 - q^2)^2.</math>
Альтернативная параметризация
Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:
Если <math>a</math> и <math>b</math> имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа <math>a^2 + b^2</math> такой, что <math>p^2 < a^2 + b^2</math>. Тогда <math>c = (a^2 + b^2 - p^2)/(2p)</math> и <math>d = (a^2 + b^2 + p^2)/(2p).</math> Заметим, что <math>p = {d - c}.</math>
Похожий метод существует[6] для <math>a, b</math> чётных с дополнительным ограничением, что <math>2p</math> должно быть чётным делителем числа <math>a^2 + b^2.</math> Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.
Свойства
Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12[7]. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).
Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами
Примитивная пифагорова четвёрка <math>(a,b,c,d)</math>, параметризованная с помощью <math>(m,n,p,q)</math>, соответствует первому столбцу матричного представления <math>E(\alpha)</math> сопряжения <math>\alpha(\cdot)\overline{\alpha}</math> с помощью кватерниона Гурвица <math>\alpha = m + ni + pj + qk</math>, суженного до подпространства <math>\mathbb{H}</math>, натянутого на <math>i, j, k</math>
- <math>
E(\alpha) = \begin{pmatrix} m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq &2mp+2nq \\ 2mq+2np &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn \\ 2nq-2mp &2mn+2pq &m^2-n^2-p^2+q^2\\ \end{pmatrix},</math>
где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, <math>\frac{1}{d}E(\alpha)</math> <math>\in \text{SO}(3, \mathbb{Q})</math>, и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом[8].
Пифагоровы четвёрки с малой нормой
- (1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)
См. также
- Пифагорова тройка
- Теорема де Гуа
- Кватернионы и вращение пространства
- Формула Эйлера — Родригеса для вращения в трёхмерном пространстве
- Гипотеза Эйлера
- Гипотеза Била
- Уравнение Якоби — Маддена
- Шаблон:Не переведено 5
- Число такси
- Задача о четырёх кубах
Примечания
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:Gutenberg
- The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ L. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
