Русская Википедия:Плазменные волны в графене

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Как и в обычных полупроводниках, в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму, и, соответственно, ставить вопрос о том, какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

<math>\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}_p\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}+e\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{r}}\frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}}=0.\qquad(4.1)</math>

Здесь функция распределения электронов <math>f=f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)</math> зависит от координат, импульсов и времени. <math>\phi=\phi(\mathbf{r},t)</math> — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты <math>\mathbf{p}=(p_x,p_y)</math>. Также скорость электронов задаётся формулой <math>\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=v_F\frac{\mathbf{p}}{p}</math>, где <math>p=|\mathbf{p}|</math>.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

<math>\frac{V_g-\phi}{W_g}=\frac{4\pi e}{\varepsilon}\Sigma,\qquad(4.2)</math>

где <math>V_g</math> — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, <math>W_g</math> — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью <math>\varepsilon</math>, а концентрация электронов <math>\Sigma</math> задаётся по формуле

<math>\Sigma=\frac{g_sg_v}{(2\pi \hbar)^2}\int{d^2\mathbf{p}f},\qquad(4.3)</math>

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

<math>f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)=f_0+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},\qquad(4.4)</math>

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны (<math>|\delta f|\ll f_0</math>). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с <math>V_g</math>)

<math>\phi(\mathbf{r},t)=\delta\phi e^{i(kx-\omega t)}.\qquad(4.5)</math>

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на <math>\delta f(p)</math> и <math>\delta\phi</math> с точностью до первого порядка малости

<math>\left(kv_F\frac{p_x}{p}-\omega\right)\delta f=-ek\frac{\partial f_0}{\partial p_x}\delta\phi,\qquad(4.6)</math>

<math>\delta\phi=-\frac{2eW_g}{\pi\varepsilon\hbar^2}\int{d^2\mathbf{p}f}.\qquad(4.7)</math>

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть <math>k_BT\ll E_F</math>. Для <math>\omega>v_Fk</math> получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

<math>\omega=\frac{kv_F}{\sqrt{1-\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^2}}=ks,\qquad(4.7)</math>

где

<math>\alpha=\sqrt{\frac{4g_sg_ve^3W_gV_g}{\varepsilon\hbar^2v_F^2}}.\qquad(4.8)</math>.

Фазовая и групповая скорости равны

<math>s=\frac{v_F}{\sqrt{1-\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^2}}.\qquad(4.9)</math>

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе .

См. также

• Графен