Русская Википедия:Планковская угловая частота
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
В физике, планковская угловая частота это единица угловой частоты, обозначаемая как <math>\omega_{\text{P}}</math>, определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы.
Шаблон:Нет АИ 2 <math>t_{\text{P}} </math>. С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется[1]:
- <math>t_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5,39116(13) \cdot 10^{-44}</math> c,
- <math>\omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \approx 1,85487\cdot 10^{43}</math> c-1,
где:
- <math> c </math> — скорость света в вакууме,
- <math> \hbar </math> — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на <math>2 \pi</math>),
- <math> G</math> — гравитационная постоянная,
- <math> t_{\text{P}} </math> — планковское время.
Некоторые свойства планковской угловой частоты
Колебания и волны
- Обычная частота, соответствующая планковской угловой частоте: <math>f = \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi t_{\text{P}}} = \sqrt{\frac{c^5}{4 \pi^2 \hbar G}} = \sqrt{\frac{c^5}{2 \pi h G}} = \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx</math> 2,95212 Шаблон:E Гц,
- где <math> \ h </math> — постоянная Планка, <math>\epsilon_G = \frac{1}{4\pi G}</math> — гравитационная электро-подобная константа[2], <math>\varkappa={8 \pi G \over c^4}</math> — гравитационная постоянная Эйнштейна[3].
- Период, соответствующий планковской угловой частоте, равен <math>2 \pi t_{\text{P}}</math>, то есть планковскому времени, умноженному на <math>2 \pi</math>.
- Фаза:
- Фаза колебаний, угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время.
- Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах.
- Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах lP, а t в единицах tP.
- Изменение фазы гармонического колебания за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ωP.
Вращение
- При равномерном вращении или движении по окружности изменение угла поворота за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ωP.
- При вращении или движении по окружности с угловой скоростью, равной планковской угловой частоте, угол поворота изменяется на 1 рад за планковское время.
- Угловая скорость точки, равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом lP, равна ωP.
Сигналы
- Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна <math>\omega_{\text{P}}</math> (то есть <math>f_c\; \leq \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}}</math>[4]), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации, большей или равной <math>2 \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 4 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx</math> 5,90424 Шаблон:E Гц.
Электромагнитные колебания
- Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине, умноженной на <math>2 \pi</math>.
- Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии.
- Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени, умноженному на <math>2 \pi</math> и делённому на 360, то есть <math>\frac{2 \pi t_{\text{P}}}{360}</math> Шаблон:Math.
Зрение
- Монохроматический зелёный свет с частотой 540Шаблон:E Гц, о котором говорится в определении канделы, имеет угловую частоту 1,829195613 Шаблон:E ωP.
Музыка
- Самый низкий звук, воспринимаемый человеческим ухом (16 Гц), имеет угловую частоту примерно 5,419839 Шаблон:E ωP. Самый высокий (20000 Гц) — около 6,77480 Шаблон:E ωP. Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 Шаблон:E ωP до 6,77480 Шаблон:E ωP.
- Угловая частота эталонного тона «ля» 1-й октавы в 12-звуковом строе (440 Гц) примерно равна 1,49046 Шаблон:E ωP. Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 Шаблон:E*<math>\cdot 2^{i/12}</math> ωP, где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону[5]. В частности,
- Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано (ля субконтроктавы, 27,5 Гц) — примерно 9,315348Шаблон:E ωP; самой высокой (до 5-й октавы, 4186,0 Гц[5]) — около 1,417968 Шаблон:E ωP.
- Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до-диез (или ре-бемоль) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя.
Примечания
- ↑ CODATA Value: Planck Time Шаблон:Wayback — The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty.
- ↑ см. статью Большие числа Дирака#Популярные значения чисел Дирака
- ↑ см. статью Общая теория относительности#Уравнения Эйнштейна
- ↑ Здесь, как и в статье Теорема Котельникова, под <math>f_c\;</math> понимается максимальная частота в спектре сигнала.
- ↑ 5,0 5,1 Это непосредственно следует из формулы для расчёта частот, соответствующих ступеням звукоряда (исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц):<math> f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} </math>, где f0 — частота камертона, а i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону f0.
