Русская Википедия:Плоский модуль
Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.
Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.[1]
Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.
Определение
Можно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.
- (Левый) <math>R</math>-модуль <math>M</math> называется плоским тогда и только тогда, когда функтор <math>N \mapsto M \otimes_R N</math> является точным.
- Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, <math>R</math>-модуль <math>M</math> является плоским, если для любого инъективного гомоморфизма <math>R</math>-модулей <math>\phi : K \to L</math> индуцированное отображение <math>F_M(\phi) : M \otimes_R K \to M \otimes_R L</math> также инъективно.
- Модуль <math>M</math> является плоским, если каждого конечнопорождённого идеала в кольце <math>R</math> (с естественным вложением <math>I \hookrightarrow R</math>) индуцированное отображение <math>I \otimes_R M \to R \otimes_R M \cong M</math> инъективно.
Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом
Для любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S−1R является плоским R-модулем.
Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу <math>M_{\mathfrak p}</math> является свободным модулем над кольцом частных <math>R_{\mathfrak p}</math>.
Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм <math>f:R\to S</math>, имеет смысл спросить, является ли эта алгебра плоским R-модулем. Оказывается, что S является строго плоским модулем тогда и только тогда, когда каждый простой идеал кольца R является прообразом под действием f некоторого простого идеала из S, то есть когда отображение <math>f^* \colon \mathrm{Spec}(S) \to \mathrm{Spec}(R)</math> сюръективно (см. статью Спектр кольца).
Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:
- Модули без кручения ⊃ плоские модули ⊃ проективные модули ⊃ свободные модули.
Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.
Категорные копределы
Прямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.
Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей.[2] Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.
Гомологическая алгебра
Свойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда TornR(-, M) = 0 для всех <math>n \ge 1</math> (то есть когда TornR(X, M) = 0 для всех <math>n \ge 1</math> и всех правых R-модулей X), определение плоского правого модуля аналогично. Используя этот факт, можно доказать несколько свойств короткой точной последовательности модулей:
- <math>0 \longrightarrow A \stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0</math>
- Если A и C плоские, то и B плоский.
- Если B и C плоские, то и A плоский.
Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако
- Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.
Плоские резольвенты
Плоская резольвента модуля M — это резольвента вида
- … → F2 → F1 → F0 → M → 0
где все Fi плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.
Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что Fn не равен нулю Fi=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля.Шаблон:Sfn, в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F0 → M → 0 следует, что M изоморфен F0, то есть является плоским.
Примечания
Литература
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
