Русская Википедия:Плосконосый додекаэдр

Плосконосый додекаэдр
Плосконосый додекаэдр
Плосконосый додекаэдр
Тип	Полуправильный многогранник
Грань	пятиугольник, треугольник
Граней	<math>92</math>
Рёбер	<math>150</math>
Вершин	<math>60</math>
Граней при вершине	<math>5</math>
Телесный угол	3-3:164°10’31"(164.18°) 3-5=152°55’53"(152.93°)
Символ Шлефли	sr{5,3} или <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
Символ Витхоффа	2 3 5
Диаграмма Коксетера	Шаблон:CDD
Симметрии вращения	I, [5,3]⁺, (532), порядок 60
Двойственный многогранник	Пентагональный гексаконтаэдр Пентагональный гексеконтаэдр
Развёртка	Развёртка
Раскраска граней С раскраской граней	Вершинная фигура Вершинная фигура

Плосконосый додекаэдрШаблон:Sfn Шаблон:Sfn, курносый додекаэдрШаблон:Sfn или плосконосый икосододекаэдр — это полуправильный многогранник (архимедово тело), одно из тринадцати выпуклых Шаблон:Не переведено 5 непризматических тел, гранями которых являются два или более правильных многоугольника.

Плосконосый додекаэдр имеет 92 грани (наибольшее количество из всех архимедовых тел), 12 из них являются пятиугольниками, а остальные 80 — правильными треугольниками. У него 150 рёбер и 60 вершин.

Многогранник имеет две различные формы, являющиеся Шаблон:Не переведено 5 (или «энантиоморфным видом») друг друга. Объединение обоих видов образует Шаблон:Не переведено 5, а выпуклая оболочка этой конструкции является ромбоусечённым икосододекаэдром.

Кеплер первоначально назвал его в 1619 по латински dodecahedron simum в своей книге Harmonices Mundi. Гарольд Коксетер заметил, что многогранник можно получить равным образом из додекаэдра или икосаэдра и назвал его плосконосым икосододекаэдром, с вертикальным символом Шлефли <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>.

Отношение длины ребра "a" к диаметру описанного шара "D":

D=4.311675*a

Декартовы координаты

Декартовыми координатами вершин плосконосого додекаэдра являются все чётные перестановки

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)),

(±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)),

(±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) и

(±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ − 1 / ξ

и

β = ξϕ + ϕ² + ϕ /ξ,

Здесь ϕ = (1 + √5)/2 — золотое сечение, а ξ является вещественным решением уравнения ξ³ − 2ξ = ϕ и это число равно

или, приближённо, 1,7155615.

Этот плосконосый додекаэдр имеет длину ребра примерно 6,0437380841.

Файл:A11-A13.gif

Трансформация из ромбоикосидодекаэдра в плосконосый додекаэдр

Если взять нечётные перестановки вышеприведённых координат с чётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную форму первого. Хотя это и не сразу очевидно, тело, полученное из чётных перестановок, является тем же самым, что и из нечётных. Тем же образом, зеркальное отображение многогранника будет соответствовать либо чётным перестановкам, либо нечётным.

Площадь поверхности и объём

Длиной ребра 1 площадь поверхности равна

<math>A = 20\sqrt{3} + 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 55,28674495844515</math>

а объём равен

<math>V= \frac{12\xi^2(3\phi+1)-\xi(36\phi+7)-(53\phi+6)}{6\sqrt{3-\xi^2}^3} \approx 37,61664996273336</math>,

где ϕ — золотое сечение.

Плосконосый додекаэдр имеет наивысшую сферичность из всех архимедовых тел.

Ортогональные проекции

Плосконосый додекаэдр имеет две специальные ортогональные проекции, центрированные относительно двух типов граней — треугольных и пятиугольных, соответствующие плоскостям Коксетера A₂ и H₂.

Ортогональные проекции
Центрирован относительно	Треугольной грани	Пятиугольной грани	Ребра
Изображение	Файл:Snub dodecahedron A2.png	Файл:Snub dodecahedron H2.png	Файл:Snub dodecahedron e1.png
Проективная симметрия	[3]	[5]⁺	[2]
Двойственный многогранник	Файл:Dual snub dodecahedron A2.png	Файл:Dual snub dodecahedron H2.png	Файл:Dual snub dodecahedron e1.png

Геометрические связи

Вращение курносого додекаэдра
Файл:Dodecaedro torcido dextrogiro.jpg Вращение по спирали вправо Файл:Dodecaedro torcido levógiro.jpg Вращение по спирали влево

Плосконосый додекаэдр может быть получен из двенадцати правильных пятиугольных граней додекаэдра путём их вытягивания наружу, так что они перестают касаться друг друга. При вытягивании на подходящее расстояние это даст ромбоикосидодекаэдр, если заполнить полученное пространство между разделёнными рёбрами квадратами, а между разделёнными вершинами — треугольниками. Но чтобы получить плосконосый вид, заполняем только треугольные грани, квадратные промежутки оставляем пустыми. Теперь поворачиваем пятиугольники относительно их центров вместе с треугольниками, пока квадратные промежутки не превратятся в равносторонние треугольники.

Файл:Dodecahedron.png Додекаэдр	Файл:Small rhombicosidodecahedron.png Ромбоикосидодекаэдр (Расширенный додекаэдр)	Файл:Snub dodecahedron cw.png Плосконосый додекаэдр

Плосконосый додекаэдр можно также получить из ромбоусечённого икосододекаэдра путём Шаблон:Не переведено 5. Шестьдесят вершин ромбоусечённого икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному плосконосому додекаэдру. Оставшиеся шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Получившийся многогранник вершинно транзитивен, но не однороден, поскольку имеет рёбра разной длины, необходима некоторая деформация, чтобы привести его к однородному многограннику.

Связанные многогранники и мозаики

Шаблон:Икосаэдральные усечения

Этот полуправильный многогранник принадлежит последовательности Шаблон:Не переведено 5 многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3.n) и диаграммой Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD. Эти фигуры и их двойственные имеют (n32) вращательную Шаблон:Не переведено 5 и существуют в евклидовой плоскости для n=6 и гиперболической плоскости для любого n, большего 6. Можно считать, что последовательность начинается с n=2, если допустить, что некоторое множество граней вырождается в двуугольники.

Шаблон:Таблица плосконосых фигур

Граф плосконосого додекаэдра

Шаблон:Граф В теории графов граф плосконосого додекаэдра — это Шаблон:Не переведено 5 плосконосого додекаэдра. Он имеет 60 вершин и 150 рёбер и является архимедовым графом Шаблон:Sfn.

Ортогональные проекции
Файл:Snub dodecahedron A2.png	Файл:Snub dodecahedron H2.png	Файл:Snub dodecahedron e1.png

Шаблон:-

См. также

Преобразование плоского многоугольника в многогранник Анимация
ccw и cw — вращающиеся плосконосые додекаэдры

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Mathworld
3D convex uniform polyhedra Шаблон:Wayback
Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view Шаблон:Wayback
The Uniform Polyhedra Шаблон:Wayback
Virtual Reality Polyhedra Шаблон:Wayback The Encyclopedia of Polyhedra
The Snub Dodecahedron made with LEGO Шаблон:Wayback by Antonio Nicassio (ITALY)

Шаблон:Многогранники Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Плосконосый додекаэдр

Содержание