Русская Википедия:Плотность состояний
Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).
Определение
Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или <math>k</math>-пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области <math>0 < x < L_x</math> или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки <math>L_x</math> используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: <math>\psi(x) = \psi(x+L_x)</math>. С волновой функцией свободной частицы <math>\psi(x) = \mbox{const}\cdot e^{ikx}</math> получаем соотношения
- <math> 2\pi N = kL_x \qquad \frac{2\pi}{L_x} = \Delta k </math>,
где <math>N</math> — любое целое число, а <math>\Delta k</math> — расстояние между состояниями с различными <math>k</math>. Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат (<math>y</math>, <math>z</math>).
Полное количество <math>k</math>-состояний, доступных для частицы, — это объём <math>k</math>-пространства, доступного для неё, делённый на объём <math>k</math>-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от <math>0</math> до <math>k</math>.
Объём <math>k</math>-пространства для одного состояния в <math>n</math>-мерном случае запишется в виде
- <math>G(k) = \frac{g_s}{\left( {\Delta k} \right)^n} \int\limits_0^k\,{d^n{\mathbf{k}}},</math>
где <math>g_s</math> — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в <math>k</math>-пространстве: <math>g(k)\,dk = \frac{dG(k)}{dk}\,dk</math>. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить <math>k</math> и <math>dk</math> в выражении <math>g(k)dk</math> в терминах <math>E</math> и <math>dE</math>. Например для свободного электрона: <math>E = \frac{p^2}{2m} = \frac{(\hbar k)^2}{2m}</math>, <math>dE = \frac{\hbar^2 k}{m}\,dk.</math>
С более общим определением связано соотношение
- <math>D(E) = \sum_s~\delta(E-E_s)</math>
(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель <math>1/V</math>), где индекс <math>s</math> соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а <math>\delta</math> — дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности <math>2n</math> следует использовать правило
- <math>\sum_s\rightarrow \int\frac{d^np~d^nq}{(2\pi\hbar)^n}</math>
где <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>p</math> — импульс, <math>q</math> — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).
Примеры
В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:
| Доступный объём | Объём для одного состояния | Плотность состояний | |
| <math>3D</math> | <math> \frac{4}{3}\pi k^3 </math> | <math>\frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} </math> | <math> \frac{\sqrt{2m^3}} {\pi^2\hbar^3}\sqrt{E} </math> |
| <math>2D</math> | <math> \pi k^2 </math> | <math>\frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}</math> | <math> \frac{m} {\pi\hbar^2 L_z}\sum_l \Theta(E-E_l) </math> |
| <math>1D</math> | <math>2k</math> | <math>\frac{2\pi}{L_x}</math> | <math> \frac{\sqrt{2m}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}} </math> |
| <math>0D</math> | <math> \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)</math> |
где <math>l</math> — индекс подзоны размерного квантования, <math>\Theta</math> — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.
Все формулы для <math>D(E)</math>, приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж-1м-3 и структуру «некое выражение <math>\rho(E)</math>, делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все <math>L</math>), то останется <math>\rho(E)</math> с размерностью [<math>\rho</math>] = Дж-1м-3, Дж-1м-2, Дж-1м-1 и Дж-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только <math>D(E)</math>, но и <math>\rho(E)</math>.
Использование
Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.
Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как
- <math>n = \int\limits_{E_c}^{+\infty}\rho(E)F(E)\,dE,\quad p = \int\limits_{-\infty}^{E_v}\rho(E)(1-F(E))\,dE</math>,
где <math>F</math> — функция Ферми, <math>E_c</math> (<math>E_v</math>) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве <math>\rho</math> здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: <math>\rho_{3D}</math> для толщи материала (и тогда концентрации будут в м-3), <math>\rho_{2D}</math> для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м-2), <math>\rho_{1D}</math> для квантовой проволоки (концентрацию получим в м-1) или <math>\rho_{0D}</math> (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).
Внешние ссылки
