Русская Википедия:Плотность упаковки
Плотность упаковки в некотором пространстве — это доля пространства, заполненная упакованными телами (фигурами). В задачах упаковки обычно целью является получение упаковки с максимальной возможной плотностью.
В компактных пространствах
Если Шаблон:Math являются измеримыми подмножествами компактного в пространстве с мерой Шаблон:Math и их множества внутренних точек попарно не пересекаются, то коллекция Шаблон:Math является упаковкой в Шаблон:Math и плотность этой упаковки равна
- <math>\eta = \frac{\sum_{i=1}^{n}\mu(K_i)}{\mu(X)}</math>.
В евклидовом пространстве
Если пространство, в которое осуществляется упаковка, бесконечно, как, например, евклидово пространство, плотность традиционно определяется как предел плотностей, получаемых упаковкой в шарах всё большего и большего размера. Если Шаблон:Math — шар радиуса Шаблон:Math с центром в начале координат, то плотность упаковки Шаблон:Math равна
- <math>\eta = \lim_{t\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(K_i\cap B_t)}{\mu(B_t)}</math>.
Поскольку такой предел не всегда существует, полезно определить верхнюю и нижнюю плотности как верхний и нижний пределы. Если плотность существует, верхняя и нижняя плотности совпадают. Если обеспечено, что любой шар в евклидовом пространстве пересекает лишь конечное число элементов упаковки и если диаметры элементов ограничены сверху, верхняя и нижняя плотности не зависят от выбора начала координат и Шаблон:Math можно заменить на Шаблон:Math для любого элемента, пересекающегося с Шаблон:MathШаблон:Sfn. Шары можно заменить на гомотетии некоторого другого выпуклого тела, но, в общем случае, полученные плотности могут отличаться.
Оптимальная плотность упаковки
Часто рассматривается упаковка с ограничением использования элементов некоторого набора элементов. Например, набор элементов может состоять из шаров определённого радиуса. Оптимальная плотность упаковки или константа упаковки, связанная с коллекцией, — это точная верхняя граница верхних плотностей, полученная упаковкой, содержащей подколлекцию набора элементов, из которых создаётся упаковка. Если заданная коллекция элементов для упаковки состоит из выпуклых тел ограниченного диаметра, существует упаковка, плотность которой равна константе упаковки, и эта константа упаковки не меняется, если шары в определении плотности заменить на гомотетии некоторого другого выпуклого телаШаблон:Sfn.
Представляют интерес все Шаблон:Не переведено 5 фиксированного выпуклого тела Шаблон:Math. В этом случае константу упаковки называют константой упаковки тела Шаблон:Math. Гипотеза Кеплера касается константы упаковки трёхмерных шаров. Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что трёхмерные шары имеют наименьшую константу упаковки по сравнению с другими выпуклыми телами. Все параллельные переносы фиксированного тела также представляют интерес, и для них вводится константа упаковки параллельного переноса тела.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
