Русская Википедия:Площадь фигуры
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Значения Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Об определении
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:
- Положительность — площадь неотрицательна;
- Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура <math>F</math> называется квадрируемой, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многоугольников <math>P</math> и <math> Q</math>, такие что <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>S(Q)-S(P)<\varepsilon</math>, где <math>S(P)</math> обозначает площадь <math>P</math>.
- Примеры квадрируемых фигур
- многоугольники;
- любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
- фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
- Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).
Формулы
| Фигура | Формула | Комментарий |
|---|---|---|
| Правильный треугольник | <math>\tfrac{\sqrt{3}}4{\cdot}a^2</math> | <math>a</math> — длина стороны треугольника. |
| Треугольник | <math>\sqrt{p{\cdot}(p-a){\cdot}(p-b){\cdot}(p-c)}</math> | Формула Герона. <math> p </math> — полупериметр, <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — длины сторон треугольника. |
| Треугольник | <math>\tfrac12{\cdot} a{\cdot} b{\cdot} \sin\gamma</math> | <math>a</math> и <math>b</math> — две стороны треугольника, а <math>\gamma</math> — угол между ними. |
| Треугольник | <math>\tfrac12{\cdot}b{\cdot}h</math> | <math>b</math> и <math>h</math> — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне. |
| Квадрат | <math>a^2</math> | <math>a</math> — длина стороны квадрата. |
| Прямоугольник | <math>a{\cdot}b</math> | <math>a</math> и <math>b</math> — длины сторон прямоугольника. |
| Ромб | <math>a^2{\cdot}\sin \alpha, \tfrac12bc</math> | <math>a</math> — сторона ромба, <math>\alpha</math> — внутренний угол, <math>b,c</math> — диагонали. |
| Параллелограмм | <math>b{\cdot}h</math> | <math>b</math> — длина одной из сторон параллелограмма, а <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. |
| Трапеция | <math>\tfrac12{\cdot}(a+b){\cdot}h</math> | <math>a</math> и <math>b</math> — длины параллельных сторон, а <math>h</math> — расстояние между ними (высота). |
| Четырёхугольник | <math>\tfrac12{\cdot}m{\cdot}n{\cdot}\sin\phi</math> | <math>n</math> и <math>m</math> — длины диагоналей, и <math>\phi</math> — угол между ними. |
| Правильный шестиугольник | <math>\tfrac{3{\cdot}\sqrt{3}}2{\cdot}a^2</math> | <math>a</math> — длина стороны шестиугольника. |
| Правильный восьмиугольник | <math>2{\cdot}(1+\sqrt{2}){\cdot}a^2</math> | <math>a</math> — длина стороны восьмиугольника. |
| Правильный многоугольник | <math>\frac{n{\cdot}a^2} {4 {\cdot} \tan(\pi/n)}</math> | <math>a</math> — длина стороны многоугольника, а <math>n</math> — количество сторон многоугольника. |
| <math>\tfrac12{\cdot}a{\cdot} p</math> | <math>a</math> — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а <math>p</math> — периметр многоугольника. | |
| Произвольный многоугольник | \sum_{i=0}^{n-1} \det\begin{pmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{pmatrix} \right | </math> | Формула площади Гаусса. <math>(x_i,y_i)</math> — координаты вершин <math>n</math>-угольника, <math>(x_n,y_n)=(x_0,y_0)</math> |
| Круг | <math>\pi {\cdot}r^2</math> или <math>\frac{\pi{\cdot} d^2}{4}</math> | <math>r</math> — радиус окружности, а <math>d</math> — её диаметр. |
| Сектор круга | <math>\tfrac12 {\cdot}r^2{\cdot} \theta</math> | <math>r</math> и <math>\theta</math> — соответственно радиус и угол сектора (в радианах). |
| Эллипс | <math>\pi{\cdot} a{\cdot}b</math> | <math>a</math> и <math>b</math> — большая и малая полуоси эллипса. |
См. также
- Исчезновение клетки
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Треугольник о площадях треугольников
- Четырехугольник о площадях четырехугольников
Литература
- В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Шаблон:Wayback Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Шаблон:Wayback, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- §§ 244—276 в Шаблон:Cite arXiv
- Шаблон:Книга
- В. А. Рохлин, Площадь и объём Шаблон:Wayback, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.
