Русская Википедия:Плюккеровы координаты
Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства <math>M</math> (произвольной размерности) векторного или проективного пространства <math>L</math>. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю <math>\dim M=2</math> и <math>\dim L=4</math> для векторных пространств.
Определение в координатах
Пусть <math>M</math> — <math>m</math>-мерное подпространство <math>n</math>-мерного векторного пространства <math>L</math>. Для определения плюккеровых координат подпространства <math>M</math> выберем произвольный базис <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math> в <math>L</math> и произвольный базис <math>a_1,\;\ldots,\;a_m</math> в <math>M</math>. Каждый вектор <math>a_i</math> имеет в базисе <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math> координаты <math>(a_{i1},\;\ldots,\;a_{in})</math>, то есть <math>a_i=a_{i1}e_1+\ldots+a_{in}e_n</math>. Записывая координаты векторов <math>a_1,\;\ldots,\;a_m</math> в виде строк, получим матрицу
- <math>A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix},</math> ранг которой равен <math>m</math>. Обозначим через <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> минор матрицы <math>A</math>, состоящий из столбцов с номерами <math>i_1,\;\ldots,\;i_m</math>, принимающими значения от <math>1</math> до <math>n</math>. Числа <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> не независимы: если набор индексов <math>(i_1,\;\ldots,\;i_m)</math> получен из <math>(j_1,\;\ldots,\;j_m)</math> с помощью перестановки <math>\sigma\in S_m</math>, то имеет место равенство <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=\pm M_{j_1,\;\ldots,\;j_m}</math>, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка <math>\sigma</math> чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность <math>C_n^m</math> чисел <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> для всех упорядоченных наборов индексов <math>i_1<\ldots<i_m</math>, принимающих значения от <math>1</math> до <math>n</math>, называется плюккеровыми координатами подпространства <math>M</math>.
Свойства
1. Независимость от выбора базиса.
Если в подпространстве <math>M</math> выбран другой базис <math>a'_1,\;\ldots,\;a'_m</math>, то новый набор плюккеровых координат <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> будет иметь вид <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, где <math>c</math> — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями <math>a'_i=a'_{i1}a_1+\cdots+a'_{im}a_m</math>, и определитель матрицы <math>(a'_{ij})</math> отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, где <math>c=\det(a'_{ij})</math>.
2. Грассманиан.
Ставя в соответствие каждому <math>m</math>-мерному подпространству <math>M</math> набор его плюккеровых координат <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, мы сопоставляем <math>M</math> некоторую точку проективного пространства <math>P</math> размерности <math>C_n^m-1</math>. Построенное таким образом отображение <math>g</math> инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством <math>P</math>). Образ множества всех <math>m</math>-мерных подпространств <math>n</math>-мерного пространства при отображении <math>g</math> является <math>m(n-m)</math>-мерным проективным алгебраическим многообразием в <math>P</math>, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым <math>G(m,\;n)</math> или <math>\mathrm{Gr}_m(L)</math>.
3. Соотношения Плюккера.
Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства <math>P</math> грассманиану <math>G(m,\;n)</math>, являются так называемые соотношения Плюккера:
- <math>\sum_{r=1}^{m+1}(-1)^r p_{j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}k_r}\cdot p_{k_1,\;\ldots,\;\breve{k_r},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad\forall\,(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad\forall\,(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}),</math>
где все индексы в наборах <math>(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})</math> и <math>(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})</math> принимают значения от <math>1</math> до <math>n</math>, знак <math>\breve{}</math> обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности <math>(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})</math> выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору <math>(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})</math>, потом два получившихся числа <math>p_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}=M_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}</math> перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы <math>A</math>, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого <math>m</math>-мерного подпространства <math>M\subset L</math>. И обратно, если однородные координаты <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, <math>i_1<\ldots<i_m</math>, некоторой точки проективного пространства <math>P</math> удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении <math>g</math> соответствует некоторому подпространству <math>M\subset L</math>, то есть принадлежит <math>G(m,\;n)</math>.
На языке матриц это означает: если числа <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.
Пример
В случае <math>n=4</math> и <math>m=2</math> имеем <math>C_4^2=6</math>, и следовательно, каждая плоскость <math>M</math> в 4-мерном векторном пространстве имеет <math>6</math> плюккеровых координат: <math>p_{12}</math>, <math>p_{13}</math>, <math>p_{14}</math>, <math>p_{23}</math>, <math>p_{24}</math>, <math>p_{34}</math>. Выбирая в плоскости <math>M</math> базис <math>a_1,\;a_2</math> таким образом, что <math>a_1=e_1</math> и <math>a_2=e_2</math>, получаем матрицу
- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 1 & \gamma & \delta \\ \end{pmatrix},</math> откуда находим:
- <math>p_{12}=1</math>, <math>p_{13}=\gamma</math>, <math>p_{14}=\delta</math>, <math>p_{23}=-\alpha</math>, <math>p_{24}=-\beta</math>, <math>p_{34}=\alpha\delta-\beta\gamma</math>.
Очевидно, что имеет место соотношение
- <math>p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0</math>,
сохраняющееся при умножении всех <math>p_{i_1i_2}</math> на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику <math>G(2,\;4)</math> в 5-мерном проективном пространстве.
Литература
- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — Шаблон:М.: изд-во МГУ, 1962.
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — Шаблон:М.: Факториал, 1998.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — Шаблон:М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Шаблон:М.: Физматлит, 2009.
- Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.
