Русская Википедия:Поверхность Морина
Поверхность Морина является промежуточной моделью выворачивания сферы, открытой Бернардом Морином. Поверхность обладает четырёхкратной вращательной симметрией.
Если у исходной сферы, которую следует вывернуть, внешняя сторона выкрашена зелёным, а внутренняя красным цветами, то при преобразовании сферы путём гомотопии в поверхность Морина половина видимой извне поверхности Морина будет зелёной, а другая половина красной:
Файл:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG
Половина поверхности Морина соответствует внешней поверхности сферы (зелёной),
которой она гомеоморфна, а другая симметричная половина соответствует внутренней поверхности сферы (красной).
Тогда вращение поверхности на 90° вокруг её оси симметрии сменит её цвета, то есть сменит полярность (внутри-снаружи) ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии в точности с той же позиции в обратном порядке к исходной сфере после поворота поверхности Морина приведёт к сфере, внешняя сторона которой красная, а внутренняя сторона зелёная, то есть к вывернутой сфере. Ниже приведены шаги выворачивания:
1. сфера: зелёная снаружи, красная внутри...
2. преобразуем в...
3. поверхность Морина,
3'. поверхность Морина поворачиваем на 90°...
2'. обратное преобразование в...
1'. сферу: красная снаружи, зелёная внутри.
Структура поверхности Морина
Поверхность Морина может быть разделена на четыре конгруэнтные секции. Эти секции можно здесь называть Восточной, Южной, Западной и Северной, или, соответственно, секцией 0, секцией 1, секцией 2 и секцией 3.
Файл:MorinSurfaceSectionEast.PNG
- Восточная секция поверхности Морина.
Поверхность Морина имеет четвёрку точек, через которую проходит ось симметрии. Эта четвёрка точек является начальными и конечными точками шести линий узловых точек. Каждая из четырёх секций ограничена тремя из этих линий узловых точек, так что каждая их четырёх секций гомеоморфна треугольнику. Восточную секцию представим теперь схематично:
Файл:MorinSurfaceQuarterSection.PNG
Рисунок показывает восточную секцию, ограниченную тремя петлями ABCDA, AEFGA, и AHIJA. Третья петля, AHIJA является линией узловых точек, где Восточная секция пересекает себя. Петля ABCDA является линией узловых точек, по которой Восточная секция соединена с Западной секцией, а петля AEFGA является линией узловых точек, по которой Восточная секция соединена с Южной секцией. Точка здесь на самом деле перекрывает четыре различные точки: <math>A_0, A_1, A_2, A_3</math>.
Вот как Восточная секция связана с другими секциями: пусть каждая из её ограничивающих петель определена упорядоченной четвёркой точек, тогда
- <math> (A_1, B, C, D, A_3) = (A_1, D, C, B, A_3) </math>
- <math> (A_2, E, F, G, A_3) = (A_2, H', I', J', A_3) </math>
- <math> (A_1, H, I, J, A_2) = (A_1, E, F, G, A_2) </math>,
где точки без штриха принадлежат секции 0 (Восточной), точки с одним штрихом принадлежат секции 1 (Южной), точки с двумя штрихами принадлежат секции 2 (Западной), а точки с тремя штрихами принадлежит секции 3 (Северной).
Оставшиеся три петли соединяют секции следующим образом:
- <math> (A_2, B', C', D', A_0) = (A_2, D, C, B, A_0) </math>
- <math> (A_3, E', F', G', A_0) = (A_3, H, I, J, A_0) </math>
- <math> (A_0, E, F, G, A_1) = (A_0, H', I, J, A_1). </math>
Восточная секция имеет, рассматриваемая сама по себе, одну петлю узловых точек: AHIJA. Если поверхность развёрнута, плоский результат будет следующим:
Файл:MorinSurfaceQuarterSectionFlattened.PNG
который гомеоморфен треугольнику:
Файл:MorinSurfaceQuarterSectionTriangulated.PNG
Соединение четырёх треугольных секций по их швам даёт тетраэдр:
Файл:MorinSurfaceQuarterSectionsJoined.PNG
который гомеоморфен сфере, это показывает, что поверхность Морина является самопересекающейся сферой.
Галерея поверхностей Морина
Файл:QuartetOfMorinSurfaces(WithoutPassageBarriers).PNG
- Четыре различных взгляда на поверхность Морина: первые два показаны с вырезанными «барьерами переходов», последние два представляют вид «снизу».
Аналитическая поверхность Морина
Поверхность Морина может быть элегантно описана набором уравненийШаблон:Sfn либо в открытой версии (с полюсами на бесконечности), либо замкнутой.
Галерея поверхностей Морина
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
.PNG){kind=link}