Русская Википедия:Поверхность Эннепера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:EnneperSurfaceAnimated.gif

кусок поверхности Эннепера

Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности.

Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.

Уравнения

• Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как

  <math> x = u(1 - u^2/3 + v^2)/3,</math>

  <math> y = -v(1 - v^2/3 + u^2)/3,</math>

  <math> z = (u^2 - v^2)/3.</math>

• Параметризация Вейерштрасса — Эннепера задаётся <math>f(z)=1</math> и <math>g(z)=z</math>.

• Является множеством нулей многочлена степени 9:

<math>64 z^9 - 128 z^7 + 64 z^5 - 702 x^2 y^2 z^3 - 18 x^2 y^2 z + 144 (y^2 z^6 - x^2 z^6)+</math>

<math>{} + 162 (y^4 z^2 - x^4 z^2) + 27 (y^6 - x^6) + 9 (x^4 z + y^4 z) + 48 (x^2 z^3 + y^2 z^3)- </math>

<math>{} - 432 (x^2 z^5 + y^2 z^5) + 81 (x^4 y^2 - x^2 y^4) + 240 (y^2 z^4 - x^2 z^4) - 135 (x^4 z^3 + y^4 z^3) = 0.</math>

Свойства

• Касательная плоскость в точке с заданными параметрами <math>(u,v)</math> в форме <math>a + b x + c y + d z = 0</math>:

  <math>a = -(u^2 - v^2) (1 + u^2/3 + v^2/3),</math>

  <math>b = 6 u,</math>

  <math>c = 6 v,</math>

  <math>d = -3(1 - u^2 - v^2).</math>

  • Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени

    <math>162 a^2 b^2 c^2 + 6 b^2 c^2 d^2 - 4 (b^6 + c^6) + 54 (a b^4 d - a c^4 d) + 81 (a^2 b^4 + a^2 c^4) +</math>

    <math>{} + 4 (b^4 c^2 + b^2 c^4) - 3 (b^4 d^2 + c^4 d^2) + 36 (a b^2 d^3 - a c^2 d^3) = 0.</math>

• Якобиан <math>J</math>, гауссова кривизна <math>K</math> и средняя кривизна <math>H</math>:

<math> J = (1 + u^2 + v^2)^4/81,</math>

<math> K = -(4/9)/J,</math>

<math> H = 0.</math>

• Полная кривизна равна <math>-4\pi</math>.
  • Полная минимальная поверхность в <math>\R^3</math> с полной кривизной <math>-4\pi</math> является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера.

Вариации и обобщения

Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера <math>f(z)=1, g(z)=z^k</math> для целого числа <math>k>1</math>.

Внешние ссылки

• Шаблон:Springer
• Enneper's Surface
• The Generalized Enneper's Surfaces // The Scientific Graphics Project