Русская Википедия:Подгруппа
Подгруппа ― подмножество <math>H</math> группы <math>G</math>, само являющееся группой относительно группового умножения на <math>G</math>.
Подмножество <math>H</math> группы <math>G</math> является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
- <math>H</math> содержит единичный элемент из <math>G</math>
- содержит произведение любых двух элементов из <math>H</math>,
- содержит вместе со всяким своим элементом <math>h</math> обратный к нему элемент <math>h^{-1}</math>.
В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.
Примеры
- Подмножество группы <math>G</math>, состоящее из одного элемента <math>1</math>, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы <math>G</math>.
- Сама <math>G</math> также является своей подгруппой.
Связанные определения
- Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
- Сама группа <math>G</math> и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы <math>G</math>, все остальные ― собственными.
- Пересечение всех подгрупп группы <math>G</math>, содержащих все элементы некоторого непустого множества <math>M</math>, называется подгруппой, порождённой множеством <math>M</math>, и обозначается <math>\langle M\rangle</math>.
- Если <math>M</math> состоит из одного элемента <math>a</math>, то <math>\langle a\rangle</math> называется циклической подгруппой элемента <math>a</math>.
- Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
- Если группа <math>G_1</math> изоморфна некоторой подгруппе <math>H</math> группы <math>G</math>, то говорят, что группа <math>G_1</math> может быть вложена в группу <math>G</math>.
- Если <math>H</math> — подгруппа группы <math>G</math>, то для любого <math>a\in G</math> подмножество
- <math>aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\}</math>
- является подгруппой. При этом подгруппы <math>aHa^{-1}</math> и <math>H</math> называются сопряжёнными.
Основные свойства
- Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
- Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
- Непустое множество <math>H\subset G</math> является подгруппой группы <math>G</math> тогда и только тогда, когда для любых <math> a, b \in H</math> выполняется <math>ab^{-1} \in H.</math>
- Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы <math>G</math> является подгруппой группы <math>G</math>.
- Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп <math>H</math> и <math>K</math> называется подгруппа, порожденная объединением множеств <math>H\cup K</math>.
- Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
- Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.
Смежные классы
Для подгруппы <math>H</math> и некоторого элемента <math>a \in G</math>, определяется левый смежный класс <math>aH = \{ax: x \in H\}</math>. Количество левых смежных классов подгруппы <math>H</math> называется индексом подгруппы <math>H</math> в <math>G</math> и обозначается <math>[G: H]</math>. Аналогично можно определить правые классы смежности <math>Ha = \{xa: x \in H\}</math>.
Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу <math>G/H</math> группы <math>G</math> по нормальной подгруппе <math>H</math>.
Литература
