Русская Википедия:Подкатегория

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Подкатегория в теории категорий — категория <math>\mathcal S</math>, объекты которой являются также объектами заданной категории <math>\mathcal C</math> и морфизмы которой являются также морфизмами в <math>\mathcal C</math>, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория <math>\mathcal S</math> для категории <math>\mathcal C</math> задаётся при помощи:

• подкласса объектов <math>\mathrm{Ob}(\mathcal S) \subseteq \mathrm{Ob}(\mathcal C)</math>,
• подкласса морфизмов <math>\mathrm{Hom}(\mathcal S) \subseteq \mathrm{Hom}(\mathcal C)</math>

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого <math>X \in \mathrm{Ob}(\mathcal S)</math> тождественный морфизм <math>\mathrm{id}_X</math> принадлежит <math>\mathrm{Hom}(\mathcal S)</math>,
• для каждого морфизма <math>f \colon X \to Y</math> в <math>\mathrm{Hom}(\mathcal S)</math> его прообраз <math>X</math> и образ <math>Y</math> лежат в <math>\mathrm{Ob}(\mathcal S)</math>,
• для каждой пары морфизмов <math>f</math>, <math>g</math> в <math>\mathrm{Hom}(\mathcal S)</math> их композиция <math>f \circ g</math> лежит в <math>\mathrm{Hom}(\mathcal S)</math>, если она определена в <math>\mathcal C</math>.

Из этих условий следует, что <math>\mathcal S</math> является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор <math>I \colon \mathcal S \longrightarrow \mathcal C</math>, называемый функтором вложения.

Подкатегория <math>\mathcal S</math> называется полной подкатегорией <math>\mathcal C</math>, если для каждой пары объектов <math>X,Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal S)</math> выполнено <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)</math>.

Подкатегория <math>\mathcal S</math> категории <math>\mathcal C</math> называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм <math>k \colon X \to Y</math> в <math>\mathcal C</math>, такой что <math>Y</math> принадлежит <math>\mathcal S</math>, также принадлежит <math>\mathcal S</math>. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория <math>\mathcal S</math> — широкая, если она содержит все объекты <math>\mathcal C</math>. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории <math>\mathcal C</math> — сама <math>\mathcal C</math>.

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Книга:Категории для работающего математика