Подкольцо кольца <math>K</math> — это пара <math>(R,i)</math>, где <math>R</math> — кольцо, а <math>i: R\hookrightarrow K</math> — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.
В классическом определении подкольцо кольца <math>(K,+,*)</math> рассматривается как подмножество <math>R\subset K</math>, замкнутое относительно операций <math>+</math> и <math>*</math> из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.
В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец <math>\mathcal{R}ing</math> подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей <math>\mathcal{R}ing_1</math>: морфизмы (гомоморфизмы) <math>f: R \to K</math> в этой категории должны отображать единицу кольца <math>R</math> в единицу кольца <math>K</math> (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо <math>R</math> кольца <math>K</math> также обязано содержать единицу: <math>1_K \in R</math>.
Категория <math>\mathcal{R}ing</math> устроена гораздо лучше, чем <math>\mathcal{R}ing_1</math>. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в <math>\mathcal{R}ing</math>, если не оговорено обратное.
- Примеры
- Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в <math>\mathcal{R}ing</math>.
- В <math>\mathcal{R}ing_1</math> идеал является подкольцом только тогда, когда содержит <math>1</math>, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в <math>\mathcal{R}ing_1</math> собственные идеалы не являются подкольцами.
- В <math>\mathcal{R}ing</math> подкольцами в <math>\Z</math> являются всевозможные главные идеалы <math>(n)=n\Z</math>. В <math>\mathcal{R}ing_1</math> <math>\Z</math> не имеет собственных подколец.
- Кольцо целых чисел <math>\Z</math> является подкольцом поля вещественных чисел <math>\R</math> и подкольцом кольца многочленов <math>\Z[X]</math>.
Литература
См. также
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
