Русская Википедия:Подмногообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Топологическое подмногообразие

В узком смысле слова топологическое <math>n</math>-мерное подмногообразие <math>N</math> топологического <math>m</math>-мерного многообразия <math>M</math> ― такое подмножество <math>N\subset M</math>, которое в индуцированной топологии является <math>n</math>-мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое <math>n</math>-мерное подмногообразие топологического <math>m</math>-мерного многообразия <math>M</math> ― такое <math>n</math>-мерное многообразие <math>N</math>, которое как множество точек является подмножеством <math>M</math> (иными словами, <math>N</math> ― это подмножество <math>M</math>, снабженное структурой <math>n</math>-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение <math>i:N\to M</math> является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда <math>i</math> есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки <math>p\in N</math> имеется сколь угодно малые окрестности в <math>N</math>, являющиеся пересечениями с <math>N</math> некоторых окрестностей в <math>M</math>).

Связанные определения

• Число <math>m-n</math> называется коразмерностью подмногообразия <math>N</math>.
• Подмножество <math>N\subset M</math> является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки <math>p\in N</math> имеются такая окрестность <math>U</math> этой точки в <math>M</math> и такие локальные координаты <math>x_1,x_2,...,x_m</math> в ней, что в терминах этих координат <math>N\cap U</math> описывается уравнениями <math>x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0</math>.
  • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от <math>\R</math> к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.