Русская Википедия:Подпространство
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Викисловарь Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.
Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.
Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.
Примеры
- Непустое подмножество <math>L' \subset L</math> векторного (линейного) пространства <math>L</math> над полем <math>F</math> является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов <math>x,y \in L'</math> сумма <math>x+y \in L'</math> и для всякого вектора <math>x \in L'</math> и любого <math>\alpha\in F</math> вектор <math>\alpha x \in L'</math>. В частности, подпространство <math>L'</math> обязательно содержит нулевой вектор пространства <math>L</math> (он также является нулевым вектором пространства <math>L'</math>).
- Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется собственным подпространством, если <math>L' \neq L</math> и <math>L'</math> содержит хотя бы один ненулевой вектор.
- Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется инвариантным подпространством линейного отображения <math>A : L \to L</math>, если <math>A(L') \subset L'</math>, то есть <math>A(x) \in L'</math> для любого вектора <math>x \in L'</math>. Если <math>\lambda</math> — собственное значение отображения <math>A</math>, то все векторы <math>e \in L</math>, удовлетворяющие соотношению <math>A(e) = \lambda e</math> (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения <math>A</math>. Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению <math>\lambda</math>.
- Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным[1].
- Подпространство <math>M' \subset M</math> метрического пространства <math>M</math> с метрикой <math>\rho</math> обладает индуцированной метрикой <math>\rho'</math>, которая определена формулой <math>\rho'(x,y)=\rho(x,y)</math> для любых <math>x,y \in M'</math>[2].
- Подпространство <math>T' \subset T</math> топологического пространства <math>T</math> с топологией <math>\tau</math> обладает индуцированной топологией <math>\tau'</math>, открытыми множествами в которой являются множества <math>G_{\tau'} = G_{\tau} \cap T'</math>, где <math>G_{\tau}</math> — всевозможные открытые множества в топологии <math>\tau</math>[2].
- Пусть <math>P = P(L)</math> — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства <math>L</math>, и <math>L' \subset L</math> — векторное подпространство. Тогда проективное пространство <math>P' = P(L') \subset P</math> является проективным подпространством[3].
Примечания
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)
- ↑ 2,0 2,1 Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.
