Русская Википедия:Подпространство Крылова
В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности <math>m</math>, порождённым вектором <math>v \in \mathbb{C}^n</math> и матрицей <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>, называется линейное пространство
<math>\mathcal{K}_m (v,A) = \operatorname{span} \{ v, Av, A^2 v, ..., A^{m-1} v \}.</math>
Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: <math>\mathcal{K}_m \subset \mathbb{C}^n.</math>
Такие пространства были названы в честь русского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.
Размерность подпространства Крылова
В силу конечномерности пространства <math>\mathbb{C}^{n}</math> найдётся такое <math>p\;(0\le p \le n),</math> что векторы <math>v,\; Av,\; A^2 v,\; ...,\; A^{p-1} v </math> линейно-независимы, а <math>A^p v</math> есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами <math>\gamma_1,\;\gamma_2,\;...,\;\gamma_p: </math>
<math>A^p v=- \gamma_1 A^{p-1} v - \gamma_2 A^{p-2} v-...- \gamma_p v</math>
Составим полином <math>\varphi (\lambda)=\lambda^p + \gamma_1 \lambda^{p-1} + \gamma_2 \lambda^{p-2} +...+\gamma_p</math> и получим:
<math>\varphi (A)v=0. </math>
Полином <math>\varphi (A)</math> степени <math>p</math> является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.
Свойства подпространства Крылова
- 1. <math>\mathcal{K}_p</math> инвариантно относительно <math>A</math> и <math>\mathcal{K}_m=\mathcal{K}_p</math> для любого <math>m \ge p.</math>
- 2. <math>dim(\mathcal{K}_m)=\min \{ m,p \}. </math>
Методы Крыловского типа
Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.
Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:
<math>\mathcal{K}_m (v,A) = \operatorname{span} \{ v_1, v_2, v_3, ..., v_m \} ,</math>
где
<math>v_1=v,\; v_2=Av_1,\; v_3=Av_2,\;...,\;v_m=Av_{m-1}</math>.
Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.
См. также
- Метод Крылова для нахождения характеристического многочлена матрицы.
- Проекционные методы решения СЛАУ
- Биортогонализация Ланцоша
- Iterative Template Library
Литература
Примечания
Ссылки
