Русская Википедия:Подстановки Эйлера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math>, где <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math> — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году[1][2].

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда <math>a>0</math> . Производится замена:
<math>\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t \pm \sqrt{a}x</math>

Вторая подстановка

Используется тогда, когда <math>c>0</math> . Производится замена:
<math>\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm xt \pm \sqrt{c}</math>

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
<math> \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t(x-\lambda)</math> , где <math>\lambda</math> — один из корней[1].

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок: Шаблон:Начало цитаты<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал. Шаблон:Конец цитаты

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Math-stub Шаблон:Rq