Русская Википедия:Поиск в глубину

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Depth-first-tree.svg
Порядок обхода дерева в глубину

Поиск в глубину (Шаблон:Lang-en) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае, если в рассматриваемой вершине не осталось рёбер, которые ведут в нерассмотренную вершину. Если после завершения алгоритма не все вершины были рассмотрены, то необходимо запустить алгоритм от одной из нерассмотренных вершинШаблон:Sfn.

Алгоритм поиска в глубину

Пусть задан граф <math>G = (V, E)</math>, где <math>V</math> — множество вершин графа, <math>E</math> — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:

  1. Пройдём по всем вершинам <math>v \in V</math>.
    • Если вершина <math>v</math> белая, выполним для неё DFS(v).

Процедура DFS (параметр — вершина <math>u \in V</math>)

  1. Перекрашиваем вершину <math>u</math> в серый цвет.
  2. Для всякой вершины <math>w</math>, смежной с вершиной <math>u</math> и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру DFS(w)[1].
  3. Перекрашиваем вершину <math>u</math> в чёрный цвет.

Часто используют двухцветные метки — без серого, на 1-м шаге красят сразу в чёрный цвет.

Нерекурсивные варианты

На больших графах поиск в глубину серьёзно нагружает стек вызовов. Если есть риск переполнения стека, используют нерекурсивные варианты поиска.

Первый вариант, простейший, но дающий немалый объём стека — до |E|.

  1. Кладём в стек первую вершину.
  2. Пока стек не пуст, берём верхнюю вершину, не извлекая.
    1. Если вершина белая…
      1. Красим в серый цвет.
      2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода (если таковой важен).
    2. Если вершина серая, красим в чёрный и извлекаем.
    3. Если вершина чёрная, просто извлекаем.

Если хватает двухцветных меток…

  1. Кладём в стек первую вершину.
  2. Пока стек не пуст, извлекаем верхнюю вершину. Если она белая…
    1. Красим в чёрный цвет.
    2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода.

Второй вариант: можно представить стек вызова программно: для каждой из серых вершин в стеке будет храниться её номер <math>u</math> и номер текущей смежной вершины <math>w</math>.

Процедура DFS (параметр — вершина <math>u \in V</math>)

  1. Кладём в стек пару <math>(u, \varnothing)</math>. Перекрашиваем вершину <math>u</math> в серый цвет.
  2. Пока стек не пуст…
    1. Берём верхнюю пару <math>(v, w)</math>, не извлекая её из стека.
    2. Находим вершину <math>w'</math>, смежную с <math>v</math> и следующую за <math>w</math>.
      1. Если таковой нет, извлекаем <math>(v, w)</math> из стека, перекрашиваем вершину <math>v</math> в чёрный цвет.
      2. В противном случае присваиваем <math>w := w'</math>, прямо в стеке.
        • Если к тому же вершина <math>w'</math> белая, кладём на стек пару <math>(w', \varnothing)</math>, перекрашиваем <math>w'</math> в серый цвет.

Третий вариант: можно в каждой из «серых» вершин держать текущее <math>w</math> и указатель на предыдущую (ту, из которой пришли).

Поиск в глубину с метками времени. Классификация рёбер

Файл:DepthFirstSearchTimestampsRu.svg
Поиск в глубину с метками времени. Порядок выбора рёбер — слева направо.

Для каждой из вершин установим два числа — «время» входа <math>entry[u]</math> и «время» выхода <math>leave[u]</math>.

Модифицируем процедуру DFS так.

  1. Увеличиваем «текущее время» на 1. <math>entry[u] := t</math>.
  2. Перекрашиваем вершину <math>u</math> в серый цвет.
  3. Для всякой вершины <math>v</math>, смежной с вершиной <math>u</math> и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру DFS(v).
  4. Перекрашиваем вершину <math>u</math> в чёрный цвет.
  5. Увеличиваем «текущее время» на 1. <math>leave[u] := t</math>.

Считаем, что граф ориентированный. Очевидно, для любой вершины, из которой мы не вышли в момент t, <math>entry[u] \leqslant t < leave[u]</math>. Также невозможно скрёстное неравенство: <math>entry[u] < entry[v] < leave[u] < leave[v]</math>. Просматриваемые на шаге 3 дуги u→v могут быть:

  • <math>entry[u] < t + 1 = entry[v] < leave[v] < leave[u]</math>. В момент выполнения шага 3 (обозначенный как t) вершина v белая. В таком случае мы для вершины v исполняем DFS, а дуга называется дугой дерева поиска.
  • <math>entry[u] < entry[v] < leave[v] \leqslant t < leave[u]</math>. В момент t вершина v чёрная, сравнение entry говорит, что в v попали из u. Такая дуга называется прямой.
  • <math>entry[v] < leave[v] < entry[u] \leqslant t < leave[u]</math>. В момент t вершина v также чёрная, но сравнение entry говорит, что в v попали в обход u. Такая дуга называется перекрёстной.
  • <math>entry[v] < entry[u] \leqslant t < leave[u] < leave[v]</math>. В момент t вершина v серая, то есть в u попали из v. Имеем дело с обратной дугой.

Рёбра неориентированного графа могут быть рёбрами дерева и обратными, но не прямыми и перекрёстными.[2] Чтобы различать рёбра неориентированного графа, достаточно указанных выше трёх- или двухцветных отметок. Ребро, идущее в белую вершину,— ребро дерева. В серую (чёрную в двухцветном варианте) — обратное. В чёрную — такого не бывает.Шаблон:Sfn

Алгоритм Косарайю требует сортировки вершин в обратном порядке по времени выхода. Метка входа и типы рёбер нужны в алгоритмах поиска точек сочленения и мостов. Метки выхода в обратном порядке — топологический порядок вершин.

Применение

Поиск в глубину ограниченно применяется как собственно поиск, чаще всего на древовидных структурах: когда расстояние между точками малó, поиск в глубину может «плутать» где-то далеко.

Зато поиск в глубину — хороший инструмент для исследования топологических свойств графов. Например:

Поиск в глубину — естественный выбор, когда агент (человек или робот) лично ходит по лабиринту и видит то, что непосредственно рядом с ним. «Правило левой руки» (идти, ведя левой рукой по стенке) будет поиском в глубину, если лабиринт древовидный (нет кружных путей).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Wikibooks

Шаблон:Rq Шаблон:Алгоритмы поиска на графах

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Если в сторону u→v оно прямое, то ранее его прошли в сторону v→u как обратное. Если в сторону u→v оно перекрёстное, его должны были пройти v→u как ребро дерева.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Поиск_в_глубину&oldid=10612311