Русская Википедия:Поиск в ширину
Поиск в ширину (Шаблон:Lang-en, BFS) — один из методов обхода графа. Пусть задан граф <math>G = (V, E)</math> и выделена исходная вершина <math>s</math>. Алгоритм поиска в ширину систематически обходит все ребра <math>G</math> для «открытия» всех вершин, достижимых из <math>s</math>, вычисляя при этом расстояние (минимальное количество рёбер) от <math>s</math> до каждой достижимой из <math>s</math> вершины. Алгоритм работает как для ориентированных, так и для неориентированных графов.[1]
Поиск в ширину имеет такое название потому, что в процессе обхода мы идём вширь, то есть перед тем как приступить к поиску вершин на расстоянии <math>k + 1</math>, выполняется обход вершин на расстоянии <math>k</math>.
Поиск в ширину является одним из неинформированных алгоритмов поиска[2].
Работа алгоритма
Поиск в ширину работает путём последовательного просмотра отдельных уровней графа, начиная с узла-источника <math>u</math>.
Рассмотрим все рёбра <math>(u,v)</math>, выходящие из узла <math>u</math>. Если очередной узел <math>v</math> является целевым узлом, то поиск завершается; в противном случае узел <math>v</math> добавляется в очередь. После того, как будут проверены все рёбра, выходящие из узла <math>u</math>, из очереди извлекается следующий узел <math>u</math>, и процесс повторяется.
Неформальное описание
- Поместить узел, с которого начинается поиск, в изначально пустую очередь.
- Извлечь из начала очереди узел <math>u</math> и пометить его как развёрнутый.
- Если узел <math>u</math> является целевым узлом, то завершить поиск с результатом «успех».
- В противном случае, в конец очереди добавляются все преемники узла <math>u</math>, которые ещё не развёрнуты и не находятся в очереди.
- Если очередь пуста, то все узлы связного графа были просмотрены, следовательно, целевой узел недостижим из начального; завершить поиск с результатом «неудача».
- Вернуться к п. 2.
Примечание: деление вершин на развёрнутые и не развёрнутые необходимо для произвольного графа (так как в нём могут быть циклы). Для дерева эта операция не нужна, так как каждая вершина будет выбрана один-единственный раз.
Формальное описание
Ниже приведён псевдокод алгоритма для случая, когда необходимо лишь найти целевой узел. В зависимости от конкретного применения алгоритма, может потребоваться дополнительный код, обеспечивающий сохранение нужной информации (расстояние от начального узла, узел-родитель и т. п.)
Рекурсивная формулировка:
BFS(start_node, goal_node) { return BFS'({start_node}, ∅, goal_node); } BFS'(fringe, visited, goal_node) { if(fringe == ∅) { // Целевой узел не найден return false; } if (goal_node ∈ fringe) { return true; } return BFS'({child | x ∈ fringe, child ∈ expand(x)} \ visited, visited ∪ fringe, goal_node); }
Итеративная формулировка:
BFS(start_node, goal_node) { for(all nodes i) visited[i] = false; // изначально список посещённых узлов пуст queue.push(start_node); // начиная с узла-источника while(! queue.empty() ) { // пока очередь не пуста node = queue.pop(); // извлечь первый элемент в очереди if(node == goal_node) { return true; // проверить, не является ли текущий узел целевым } visited[node] = true; // пометить текущую ноду посещенной foreach(child in expand(node)) { // все преемники текущего узла, ... if(visited[child] == false) { // ... которые ещё не были посещены ... queue.push(child); // ... добавить в конец очереди... visited[child] = true; // ... и пометить как посещённые } } } return false; // Целевой узел недостижим }
Реализация на Pascal:
function BFS(v : Node) : Boolean;
begin
enqueue(v);
while queue is not empty do
begin
curr := dequeue();
if is_goal(curr) then
begin
BFS := true;
exit;
end;
mark(curr);
for next in successors(curr) do
if not marked(next) then
begin
enqueue(next);
end;
end;
BFS := false;
end;
Свойства
Обозначим число вершин и рёбер в графе как <math> \vert V \vert </math> и <math> \vert E \vert </math> соответственно.
Пространственная сложность
Так как в памяти хранятся все развёрнутые узлы, пространственная сложность алгоритма составляет <math>O(\vert V \vert + \vert E \vert)</math>[2].
Алгоритм поиска с итеративным углублением похож на поиск в ширину тем, что при каждой итерации перед переходом на следующий уровень исследуется полный уровень новых узлов, но требует значительно меньше памяти.
Временная сложность
Так как в худшем случае алгоритм посещает все узлы графа, при хранении графа в виде списков смежности, временная сложность алгоритма составляет <math>O(\vert V \vert + \vert E \vert)</math>[2][3].
Полнота
Если у каждого узла имеется конечное число преемников, алгоритм является полным: если решение существует, алгоритм поиска в ширину его находит, независимо от того, является ли граф конечным. Однако если решения не существует, на бесконечном графе поиск не завершается.
Оптимальность
Если длины рёбер графа равны между собой, поиск в ширину является оптимальным, то есть всегда находит кратчайший путь. В случае взвешенного графа поиск в ширину находит путь, содержащий минимальное количество рёбер, но не обязательно кратчайший.
Поиск по критерию стоимости является обобщением поиска в ширину и оптимален на взвешенном графе с неотрицательными весами рёбер. Алгоритм посещает узлы графа в порядке возрастания стоимости пути из начального узла и обычно использует очередь с приоритетами.
История и применения
Поиск в ширину был формально предложен Э. Ф. Муром в контексте поиска пути в лабиринте[4]. Ли независимо открыл тот же алгоритм в контексте разводки проводников на печатных платах[5][6][7].
Поиск в ширину может применяться для решения задач, связанных с теорией графов:
- Волновой алгоритм поиска пути в лабиринте[4]
- Волновая трассировка печатных плат[5]
- Поиск компонент связности в графе
- Поиск кратчайшего пути между двумя узлами невзвешенного графа
- Поиск в пространстве состояний: нахождение решения задачи с наименьшим числом ходов, если каждое состояние системы можно представить вершиной графа, а переходы из одного состояния в другое — рёбрами графа[2]
- Нахождение кратчайшего цикла в ориентированном невзвешенном графе[2]
- Нахождение всех вершин и рёбер, лежащих на каком-либо кратчайшем пути между двумя вершинами <math>a</math> и <math>b</math>[2]
- Поиск увеличивающего пути в алгоритме Форда-Фалкерсона (алгоритм Эдмондса-Карпа)
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга. Перевод 2-го издания: Шаблон:Книга
- Шаблон:Source
Ссылки
- Steven M. Rubin Computer Aids for VLSI Design. Chapter 4: Synthesis Tools
- Волновой алгоритм поиска пути
- Поиск в ширину на Pascal и C++
Шаблон:Алгоритмы поиска на графах
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокemaxx
не указан текст - ↑ 3,0 3,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокnstu
не указан текст - ↑ 4,0 4,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmoore1959
не указан текст - ↑ 5,0 5,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокlee1961
не указан текст - ↑ Cormen et al, Introduction to Algorithms, 3rd edition, p. 623
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокse_origin
не указан текст
- Страницы, использующие устаревший тег source
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Алгоритмы поиска на графах
- Алгоритмы поиска
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
- Страницы с ошибками в примечаниях