Русская Википедия:Показательная функция
Показательная функция — математическая функция <math>f(x) = a^x</math>, где <math>a</math> называется основанием степени, а <math>x</math> — показателем степени.
- В вещественном случае основание степени <math>a</math> — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
- В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
- В самом общем виде — <math>u^v</math>, введена Лейбницем в 1695 г.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание <math>a</math> может быть представлено в виде степени числа е (<math>a=e^{\ln a}</math>), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».
Вещественная функция
Определение показательной функции
Пусть <math>a</math> — неотрицательное вещественное число, <math>x</math> — рациональное число: <math>x=\frac{m}{n}</math>. Тогда <math>a^x</math> определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.
- Если <math>x>0</math>, то <math>a^x=\sqrt[n]{a^m}</math>.
- Если <math>x=0</math> и <math>a \ne 0</math>, то <math>a^x=1</math>.
- Значение <math>0^0</math> не определено (см. Ноль в степени ноль).
- Если <math>x<0</math> и <math>a>0</math>, то <math>a^x=\frac {1} {a^{|x|}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{|m|}}}</math>.
- Значение <math>a^x</math> при <math>x<0, a=0</math> не определено.
Для произвольного вещественного показателя <math>x</math> значение <math>a^x</math> можно определить как предел последовательности
- <math>a^x = \lim_{n\to\infty} a^{r_n}</math>
где <math>\{r_n\}</math> — последовательность рациональных чисел, сходящихся к <math>x</math>. То есть
- <math>\lim_{n\to\infty} r_n = x</math>
Свойства
Свойства возведения в степень:
- <math>a^0 = 1</math>
- <math>a^{x+y} = a^x \, a^y</math>
- <math>(a^x)^y = a^{xy}</math>
- <math>(ab)^x = a^x \, b^x</math>
- <math>a^x</math> / <math>b^x</math> = <math>(a/b)^x</math>
Промежутки монотонности:
При <math>a>1</math> показательная функция всюду возрастает, причём:
- <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math> (для всякого <math>n</math>)
- <math>\lim_{x\to -\infty}a^x = 0</math>
При <math>0<a<1</math> функция, соответственно, убывает, причём:
- <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math> (для всякого <math>n</math>)
- <math>\lim_{x\to \infty}a^x = 0</math>
То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.
Обратная функция:
По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:
- <math>f(x)=a^x,\quad f^{-1}(x)=\log_{a}x</math> (логарифм <math>x</math> по основанию <math>a</math>)
Число е:
Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём <math>a_0:(a_0^x)'_x=a_0^x </math> (такое число <math>a</math>, производная показательной функции которого равна самой функции):
- <math>\frac{d}{dx}a_0^x = a_0^x\;\Leftrightarrow\;a_0^{x+dx}-a_0^x=a_0^x\,dx</math>
Возможность определения <math>a_0</math> легко увидеть после сокращения на <math>a_0^x</math>:
- <math>a_0^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow\;a_0=\left(1+dx\right)^{1/dx}
</math>
Выбирая <math>dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}</math>, окончательно получим число Эйлера:
- <math>a_0\equiv e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}</math>
Отметим, что функцию <math>e^x</math> можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):
- <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
Откуда имеем более точное приближение:
- <math>e = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}</math>
Единственность числа <math>e</math> легко показать, варьируя <math>e^x</math>. Действительно, если <math>e_1^x</math> пройдёт где-то выше, чем <math>e^x</math>, то на том же промежутке найдётся область, где <math>(e_1^x)'<e^x </math>.
Дифференцирование:
Используя функцию натурального логарифма <math>\ln \, x: e^{\ln x}=x</math>, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: <math>a^x = e^{\ln(a)\,x}</math>, откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:
- <math>(a^x)'=\ln(a)a^x</math>
Неопределённый интеграл:
- <math>\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C</math>
Потенцирование и антилогарифм
Потенцирование (от Шаблон:Lang-de[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма[1], то есть решение уравнения <math>\log_a x = b</math>. Из определения логарифма вытекает, что <math>x = a^b</math>, таким образом, возведение <math>a</math> в степень <math>b</math> может быть названо другими словами «потенцированием <math>b</math> по основанию <math>a</math>», или вычислением показательной функции от <math>b</math>.
Антилогарифм[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании <math>a</math>) равен числу <math>x</math>[2][3]:
- <math>\operatorname{ant} \log _a {x} = a^x.</math>
Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году[4]. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах[5], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа <math>a</math> по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа <math>a,</math> разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.
Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию <math>e</math> или 10 называется натуральным[6] или десятичным, соответственно.
Антилогарифм также называют обращённым логарифмом[3].
В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: <math>e^x</math> и <math>10^x</math>.
Комплексная функция
Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
- <math>e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots</math>
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для <math>e^{ix}</math> вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:
- <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>
Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:
- <math>e^{z+2\pi i} = e^z</math>
Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.
Пример: <math>i^i=e^{i\cdot\ln(i)}</math>; поскольку <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2}</math> (главное значение логарифма), окончательно получаем: <math>i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}</math>.
См. также
- Возведение в степень
- Ограничение складывания бумаги пополам
- Степенная функция
- Экспонента
- Двойная экспоненциальная функция
Примечания
Комментарии
Литература
Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «К» не найдено соответствующего тега <references group="К"/>
- ↑ Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, Шаблон:М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
- ↑ 2,0 2,1 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, Шаблон:М: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
- ↑ 3,0 3,1 Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, Шаблон:М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.
- ↑ Шаблон:Cite web
