Русская Википедия:Показатель адиабаты

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другое название

Шаблон:Термодинамика главный

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении (<math>C_P</math>) к теплоёмкости при постоянном объёме (<math>C_V</math>). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой <math>\gamma</math> (гамма) или <math>\kappa</math> (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква <math>k</math>[1].

Уравнение:

<math> \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{c_P}{c_V},</math>

где

<math>C</math> — теплоёмкость газа,
<math>c</math> — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,
индексы <math>_P</math> и <math>_V</math> обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша (1854)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

<math> \gamma = \frac{\chi_t}{\chi_s} , </math>

где <math>\chi_t</math> и <math>\chi_s</math> — изотермический и адиабатический (изоэнтропический) коэффициенты всестороннего сжатия.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент. Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо подвести примерно на 40 % (для двухатомного газа — воздуха) большее количество теплоты, чем было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру при закреплённом поршне, пропорционально <math>C_V</math>, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально <math>C_P</math>. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равенШаблон:NbspШаблон:Num.

Другой путь для понимания разницы между <math>C_P</math> и <math>C_V</math> состоит в том, что <math>C_P</math> применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). <math>C_V</math> применяется только если <math>P dV</math> — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

показатели адиабаты для различных температур и газов[2][3]
темп. газ <math> \gamma</math> темп. газ <math> \gamma</math> темп. газ <math> \gamma</math>
20 °C He 1,660 20 °C NO 1,400 20 °C H2O 1,330
19 °C Ne 1,640 −181 °C O2 1,450 100 °C 1,324
−180 °C Ar 1,760 −76 °C 1,415 200 °C 1,310
20 °C 1,670 20 °C 1,400 0 °C сухой
воздух 		1,403
19 °C Kr 1,680 100 °C 1,399 20 °C 1,400
19 °C Xe 1,660 200 °C 1,397 100 °C 1,401
360 °C Hg 1,670 400 °C 1,394 200 °C 1,398
−181 °C H2 1,597 20 °C CO 1,400 400 °C 1,393
−76 °C 1,453 20 °C Cl2 1,340 1000 °C 1,365
20 °C 1,410 0 °C CO2 1,310 2000 °C 1,088
100 °C 1,404 20 °C 1,300 15 °C SO2 1,290
400 °C 1,387 100 °C 1,281 −115 °C CH4 1,410
1000 °C 1,358 400 °C 1,235 −74 °C 1,350
2000 °C 1,318 1000 °C 1,195 20 °C 1,320
−181 °C N2 1,470 15 °C NH3 1,310 15 °C C2H6 1,220
15 °C 1,404 20 °C N2O 1,310 16 °C C3H8 1,130

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как <math>H = C_P T</math> и внутренняя энергия может быть представлена как <math>U = C_V T</math>. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

<math> \gamma = \frac{H}{U}.</math>

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (<math>\gamma</math>) и универсальную газовую постоянную (<math>R</math>):

<math> C_P = \nu \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad</math> и <math>\qquad C_V = \nu \frac{R}{\gamma - 1}.</math>

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях <math>C_V</math>, в то время как табличные значения <math>C_P</math> приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения <math>C_V</math>:

<math>C_V = C_P - \nu R,</math>

где <math>\nu </math> — количество вещества в молях. Для молярных теплоёмкостей, соответственно,

<math> C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}, \qquad C_V = \frac{R}{\gamma - 1}=C_P - R.</math>

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты (<math>\gamma</math>) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (<math>i</math>) молекул газа:

<math>\gamma = \frac{i+2}{i}\qquad</math> или <math>\qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}.</math>

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

<math> \gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}67,</math>

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

<math> \gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4.</math>

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

<math> \gamma = \frac{6+2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33.</math>

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — NШаблон:Sub, и около 21 % кислорода — OШаблон:Sub), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

<math>\gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4.</math>

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение Шаблон:Num (приведённое выше в таблице).

Соотношения для реальных газов

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты <math>\gamma</math>.

Для реальных газов, как <math>C_P</math>, так и <math>C_V</math> возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле <math>C_P</math> = <math>C_V + R</math>), и эта разность отражает постоянство величины <math>P V</math>, то есть работы, совершаемой при расширении. Величина <math>P \cdot V</math> представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, <math>\gamma</math>, возрастает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, <math>C_p - C_v = R</math>), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения <math>\frac{C_p}{C_v}</math> может быть вычислено путём определения <math>C_v</math> из свойств, выраженных как:

<math> C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\partial V}{\partial T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\partial P}{\partial T}} \right) }^2} {\frac{\partial P}{\partial V}}. </math>

Значения <math>C_p</math> не составляет труда измерить, в то время как значения для <math>C_v</math> необходимо определять из формул, подобных этой. en (Relations between specific heats) для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как Шаблон:Нп5), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений <math>C_v</math>. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс

Шаблон:См. также Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

<math> PV^\gamma = \text{constant}, </math>

где <math>P</math> — это давление и <math>V</math> — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическимШаблон:Sfn, показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

<math>c = \sqrt{\frac{\gamma kT}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},</math>

где <math>\gamma</math> — показатель адиабаты; <math>k</math> — постоянная Больцмана; <math>R</math> — универсальная газовая постоянная; <math>T</math> — абсолютная температура в кельвинах; <math>m</math> — молекулярная масса; <math>M</math> — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.[4]

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединённый с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатический процесс. Со временем давление в баллоне начнёт уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра <math>h_1</math>.

2-й этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнёт увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнёт нагреваться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра <math>h_2</math>. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчётной формуле для искомой величины:

<math> \gamma = {h_1 \over {h_1 - h_2}}. </math>

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счёт учёта времени расширения и количества подведенного за это время тепла.[5]

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics 6th ed. Wiley
  2. ↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
  3. ↑ Lange’s Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524
  4. ↑ physdep.isu.ru
  5. ↑ physchem.msu.ruШаблон:Недоступная ссылка
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Показатель_адиабаты&oldid=10612628