Русская Википедия:Поле Якоби
Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической <math>\gamma</math> в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.
Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Определение
Пусть <math>\gamma_\tau</math> есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с <math>\gamma_0=\gamma</math>, тогда поле
- <math>J(t)=\left.\frac{\partial\gamma_\tau(t)}{\partial \tau}\right|_{\tau=0}</math>
называется полем Якоби.
Свойства
- Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:
- <math>J(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,</math>
- где <math>J(t)=\frac{D^2}{dt^2}J</math> есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита, <math>R</math> — тензор кривизны, и <math>T(t)=d\gamma(t)/dt</math> — касательный вектор к <math>\gamma</math>.
- На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических <math>\gamma_\tau</math>, связанное с этим полем в соответствии с определением.
- Уравнение Якоби — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
- В частности, <math>J</math> и <math>\frac{D}{dt}J</math> в какой-либо точке <math>\gamma</math> однозначно определяют поле Якоби.
- Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.
- Любое поле Якоби <math>J</math> можно представить единственным образом в виде суммы <math>T+I</math>, где <math>T=a\dot\gamma(t)+bt\dot\gamma(t)</math> является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и <math>I(t)</math> ортогонально <math>\dot\gamma(t)</math> при всех <math>t</math>.
- При этом поле <math>I</math> соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.
- Для любых двух полей Якоби <math>I(t)</math> и <math>J(t)</math> величина
- <math>\langle I'(t),J(t)\rangle-\langle I(t),J'(t)\rangle</math>
- не зависит от <math>t</math>.
Пример
На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические <math>\gamma_0</math> и <math>\gamma_\tau</math> с естественной параметризацией <math>t\in [0,\pi]</math>, разделенные углом <math>\tau</math>. Геодезическое расстояние <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))</math> равно
- <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))=\operatorname{arcsin}\bigg(\sin t\sin\tau\sqrt{1+\cos^2 t\operatorname{tg}^2(\tau/2)}\bigg).</math>
Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:
- <math>d(\gamma_0(\pi),\gamma_\tau(\pi))=0</math> для любого <math>\tau</math>.
Вместо этого мы можем рассмотреть производные по <math>\tau</math> при <math>\tau=0</math>:
- <math>\frac{\partial}{\partial\tau}\bigg|_{\tau=0}d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))=|J(t)|=\sin t.</math>
Мы вновь получаем пересечение геодезических при <math>t=\pi</math>. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))</math>; все, что нужно сделать, это решить уравнение
- <math>y+y=0</math>,
для некоторых заданных начальных условий.
Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.
Решение уравнения Якоби
Пусть <math>e_1(0)=\dot\gamma(0)/|\dot\gamma(0)|</math>; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис <math>\big\{e_i(0)\big\}</math> в <math>T_{\gamma(0)}M</math>. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис <math>\{e_i(t)\}</math> в любой точке <math>\gamma</math>. Это даёт ортонормированный базис с <math>e_1(t)=\dot\gamma(t)/|\dot\gamma(t)|</math>. Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: <math>J(t)=y^k(t)e_k(t)</math>, откуда:
- <math>\frac{D}{dt}J=\sum_k\frac{dy^k}{dt}e_k(t),\quad\frac{D^2}{dt^2}J=\sum_k\frac{d^2y^k}{dt^2}e_k(t),</math>
и уравнение Якоби можно переписать в виде системы
- <math>\frac{d^2y^k}{dt^2}+|\dot\gamma|^2\sum_j y^j(t)\langle R(e_j(t),e_1(t))e_1(t),e_k(t)\rangle=0</math>
для каждого <math>k</math>. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех <math>t</math> и являются единственными, если заданы <math>y^k(0)</math> и <math>\frac{dy^k}{dt}(0)</math> для всех <math>k</math>.
Примеры
Рассмотрим геодезическую <math>\gamma(t)</math> с параллельным ортонормированным репером <math>e_i(t)</math>, <math>e_1(t)=\dot\gamma(t)/|\dot\gamma|</math>, построенным, как описано выше.
- Векторные поля вдоль <math>\gamma</math>, заданные <math>\dot \gamma(t)</math> и <math>t\dot \gamma(t)</math>, являются полями Якоби.
- В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны) поля Якоби это — это те поля, что линейны по <math>t</math>.
- Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны <math>-k^2</math> любое поле Якоби является линейной комбинацией <math>\dot\gamma(t)</math>, <math>t\dot\gamma(t)</math> и <math>\exp(\pm kt)e_i(t)</math>, где <math>i>1</math>.
- Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны <math>k^2</math> любое поле Якоби является линейной комбинацией <math>\dot\gamma(t)</math>, <math>t\dot\gamma(t)</math>, <math>\sin(kt)e_i(t)</math> и <math>\cos(kt)e_i(t)</math>, где <math>i>1</math>.
- Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
- Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике <math>TM</math>, индуцированной метрикой на <math>M</math>).
См. также
Литература
- Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
- Шаблон:Книга
