Русская Википедия:Поле разложения

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

По́ле разложе́ния многочлена p над полем <math>K</math> — наименьшее расширение <math>L</math> поля <math>K,</math> над которым <math>p</math> разлагается в произведение линейных множителей:

<math>p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n),</math> где <math>x_1,\dots,x_n\in L\supseteq K.</math>

При этом <math>L= K(x_1,\dots,x_n),</math> то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля <math>K</math> и чисел <math>x_1,\dots,x_n</math> как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле <math>L</math> разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к <math>K</math> всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов <math>p_i(x), i\in I</math> — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля <math>K</math>.
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена <math>p</math> не превосходит <math>1</math>, то <math>L=K</math>.
• Поле комплексных чисел <math>\mathbb C</math> служит полем разложения многочлена <math>x^2+1</math> над полем <math>\R</math> вещественных чисел.
• Любое конечное поле <math>GF (q)</math>, где <math>q=p^n</math>, есть поле разложения многочлена <math>x^q-x</math> над простым подполем <math>GF(p)\subset GF(q)</math>.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967