Русская Википедия:Полиформа
Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].
Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].
Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7][10]
Правила соединения
Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:
- Ячейки полиформы не должны перекрываться.
- Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
- Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (Шаблон:Lang-en)[7].
- Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (Шаблон:Lang-en)[7].
Симметрии
В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][11]:
- свободная (Шаблон:Lang-en) или двусторонняя (Шаблон:Lang-en) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
- односторонняя (Шаблон:Lang-en) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
- фиксированная (Шаблон:Lang-en) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.
Виды и применение полиформ
Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).
Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.
Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа Файл:Monomino.png квадрат сторона полимино (Шаблон:Lang-en)[7][11] сторона, угол псевдополимино[7][12]
полиплет (Шаблон:Lang-en)[13]Файл:Monoiamond.png правильный треугольник сторона полиамонд (Шаблон:Lang-en)[7][14] Файл:Monohex.png правильный шестиугольник сторона полигекс (Шаблон:Lang-en)[7][15] Файл:Monocube-lightblue.svg куб грань поликуб (Шаблон:Lang-en)[7][16] Файл:Monoabolo.png треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (Шаблон:Lang-en)[17] Файл:Monodrafter.png треугольник 30-60-90 сторона Шаблон:Нп1 (Шаблон:Lang-en)[18] Файл:Monominoid-lightblue.svg квадрат
(в трёхмерном пространстве)ребро (90°, 180°) полиминоид (Шаблон:Lang-en) Файл:Polyrhons-1-lightblue.svg ромбододекаэдр грань полирон (Шаблон:Lang-en)[1][2] Файл:Monostick.png отрезок конец (90°, 180°) Шаблон:Нп1 (Шаблон:Lang-en)[19]
Полиформы на гиперболических паркетах
На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.
На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.
Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[22][21]. Так, на квадратном паркете порядка 5[20] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[21]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[23] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[22], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[24].
Примечания
Литература
Ссылки
- Andrew Clarke The Poly Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- David Eppstein The Geometry Junkyard Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- George Sicherman Polyform Curiosities Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Aad van de Wetering Letters en cijfers Шаблон:WaybackШаблон:Ref-nl
- Livio Zucca PolyMultiForms Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- ↑ 1,0 1,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокcn_polyrhon
не указан текст - ↑ 2,0 2,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокpw_polyrhon
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокoeis_A038172
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокoeis_A038173
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyform
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокcanterbury1979
не указан текст - ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокgolomb1975
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокgardner_1971_12
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокgardner_1974_7
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокschwartzman
не указан текст - ↑ 11,0 11,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyomino
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокvicher_polyforms
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyplet
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyiamond
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyhex
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polycube
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polyabolo
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polydrafter
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокmw_polystick
не указан текст - ↑ 20,0 20,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокnote_45
не указан текст - ↑ 21,0 21,1 21,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокoeis_A119611
не указан текст - ↑ 22,0 22,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокpz_hhh
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокnote_73
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокcn_polyhepts
не указан текст