Русская Википедия:Полиформа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Polyrhons-4.svg

20 «свободных» тетраронов — трёхмерных полиформ, образованных соединением 4 ромбододекаэдров. Количество «односторонних» тетраронов равно 28, так как 8 из 20 «свободных» тетраронов не могут быть совмещены со своими зеркальными копиями параллельным переносом и вращением

Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд.

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером.

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.

Правила соединения

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

• Ячейки полиформы не должны перекрываться.
• Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
  • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (Шаблон:Lang-en).
  • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (Шаблон:Lang-en).

Симметрии

Файл:Ubongo-tiles.jpg

Фигуры для игры Шаблон:Нп1

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ:

• свободная (Шаблон:Lang-en) или двусторонняя (Шаблон:Lang-en) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
• односторонняя (Шаблон:Lang-en) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
• фиксированная (Шаблон:Lang-en) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

Форма ячейки (моноформа)		Связность фигуры	Полиформа
Файл:Monomino.png	квадрат	сторона	полимино (Шаблон:Lang-en)
		сторона, угол	псевдополимино полиплет (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monoiamond.png	правильный треугольник	сторона	полиамонд (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monohex.png	правильный шестиугольник	сторона	полигекс (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monocube-lightblue.svg	куб	грань	поликуб (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monoabolo.png	треугольник 45-45-90	сторона	полиаболо (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monodrafter.png	треугольник 30-60-90	сторона	Шаблон:Нп1 (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monominoid-lightblue.svg	квадрат (в трёхмерном пространстве)	ребро (90°, 180°)	полиминоид (Шаблон:Lang-en)
Файл:Polyrhons-1-lightblue.svg	ромбододекаэдр	грань	полирон (Шаблон:Lang-en)
Файл:Monostick.png	отрезок	конец (90°, 180°)	Шаблон:Нп1 (Шаблон:Lang-en)

Файл:Tetromino 4 5 ns v.png

5 тетрамино на квадратном паркете порядка 5, изображённые на диске Пуанкаре. «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной

Полиформы на гиперболических паркетах

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны. Так, на квадратном паркете порядка 5 существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино. На правильном семиугольном паркете порядка 3 существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников, причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Andrew Clarke The Poly Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• David Eppstein The Geometry Junkyard Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• George Sicherman Polyform Curiosities Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Aad van de Wetering Letters en cijfers Шаблон:WaybackШаблон:Ref-nl
• Livio Zucca PolyMultiForms Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en

Шаблон:Полиформы