Русская Википедия:Поличисла
Алгебра поличисел <math>P_n</math> реализуется элементами <math>A \in P_n</math> вида:
- <math>
A=A_1 e_1 + \dots + A_n e_n, </math>
где <math>A_i \in \mathbb R,</math> а <math>e_i</math> — набор образующих <math>P_n</math>, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):
- <math>
e_i e_j = 0 \quad (i \neq j), \quad e_i^2 = e_i, </math>
а сама представляет собой следующий объект (прямая сумма):
- <math>
P_n ~\overset{\scriptscriptstyle \mathrm{def}}{=}~ \underbrace{\R \oplus \R \oplus \cdots \oplus \R}_{n} = \bigoplus^n \R = \R^n. </math>
Поличисла (n-числа)
Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все <math>A_i \neq 0 </math> (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:
- <math>
I=e_1+ \dots +e_n </math>.
На алгебре <math>P_n</math> существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:
- <math>
A^{(1)}=A^{\ast}=A_ne_1+A_1e_2+ \dots +A_{n-1}e_n, </math>
которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла <math>A</math>. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:
- <math>
A^{(k)}= A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast } \quad</math> (<math>k</math> — раз)
Очевидно, что <math>A^{(n)}=A.</math>
Рассмотрим поличисло вида
<math> N(A)=A A^{(1)} A^{(2)} \dots A^{(n-1)}, </math> (1)
где <math>A \in P_n</math>.
Нетрудно проверить, что <math>N(A)</math> вещественно в том смысле, что
- <math>N(A)=r^nI, </math> где <math> r^n \in R</math>.
Число <math>r</math> называется (квази)нормой поличисла <math>A</math>. Квазинорма <math>r</math> выражается через координаты поличисла <math>A</math> по формуле :
<math>r ^ n=A_1 A_2 \dots A_n = G (A,A, \dots ,A)</math>, (2)
где <math>G</math> — n-форма
<math>G= \hat{S} \left(dx^1 \otimes \cdots \otimes dx^n\right)</math>, (3)
<math>\hat{S}</math> — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой <math>N(A)</math>, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы <math>|z|^2=zz^{\ast}</math> на комплексной плоскости.
По аналогии с комплексной билинейной формой:
- <math>( \zeta, \xi)=\mathrm{Re}( \zeta \xi)</math>,
где <math>\zeta , \xi \in \mathbb C</math>, можно рассмотреть n-линейную форму
<math>(A,B,\dots,Z)=\text{Re}(AB\dots Z)=\sum\limits_{\sigma(A,B,\dots,Z)} AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}= n! G(A,B,{\dots},Z).\quad</math> (4)
Здесь суммирование производится по множеству <math>\sigma(A,B,{\dots},Z)</math> всех перестановок элементов <math>A,B,{\dots},Z\in P_{n}</math>. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.
Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел <math>P_n</math> является прямой суммой <math>n</math> экземпляров алгебры вещественных чисел <math>\mathbb R</math>. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит <math>n</math> гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра <math>P_{n,m},</math> представляющая собой прямую сумму <math>n</math> экземпляров алгебры вещественных чисел <math>\mathbb R</math> и <math>m</math> экземпляров алгебры комплексных чисел <math>\mathbb C</math>[1].
Примечания
Литература
- И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
- М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
- Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
- С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121
- ↑ Г. И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, М.: Тетру, 2009.
