Русская Википедия:Полная категория

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

  • Следующие категории биполны:
  • Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
    • категория конечных множеств <math>f{S}et</math>;
    • категория конечномерных векторных пространств над полем <math>K</math> <math>fd-\mathcal{V}ect_K</math>;
    • категория конечных групп <math>f\mathcal{G}rp</math>;
  • Вообще, если <math>\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}</math> — категория моделей некоторой Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathcal{T}</math>, то <math>\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}</math> полна и кополна, так как она рефлективна в <math>\mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et)</math>. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
  • (теорема о пределе с параметром) Если категория <math>\mathcal{C}</math> полна (кополна), то категория <math>\mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C})</math> полна (кополна) для любой категории <math>\mathcal{A}</math>, причём пределы вычисляются поточечно.
  • Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
  • Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
  • Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.[1]

Если категория <math>C</math> полна в малом, то для любой малой категории <math>A</math> любой функтор <math>F\colon A\to C</math> имеет правое расширение Кана <math>\mathrm{Ran}_K F</math> по любому функтору <math>K\colon A\to B</math>, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Полная_категория&oldid=10617146