Русская Википедия:Полная линейная группа
Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.
Полная линейная группа векторного пространства Шаблон:Math — это группа обратимых линейных операторов вида Шаблон:MathШаблон:Sfn. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
Обычно обозначается Шаблон:Math.
Полная линейная группа порядка Шаблон:Math — это группа обратимых матриц порядка Шаблон:Math (то есть квадратных матриц с Шаблон:Math строками и Шаблон:Math столбцами)[1]. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.
Обычно обозначается Шаблон:Math[2]. Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) Шаблон:Math должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: Шаблон:MathШаблон:Sfn или Шаблон:Math.
Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка Шаблон:Math обозначается Шаблон:Math, а если над комплексными числами, то Шаблон:Math.
Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве Шаблон:Math (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из Шаблон:Math). Поэтому Шаблон:Math и Шаблон:Math.
Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве Шаблон:Math над полем скаляров Шаблон:Math позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору Шаблон:Math его матрицу — квадратную матрицу порядка Шаблон:Math из компонент оператора Шаблон:Math в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами Шаблон:Math и Шаблон:Math (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).
Свойства
Шаблон:Falseredirect Если Шаблон:Math — векторное пространство над полем скаляров Шаблон:Math, то полная линейная группа пространства Шаблон:Math представляет собой группу всех автоморфизмов пространства Шаблон:Math. Группу Шаблон:Math и её подгруппы называют линейными группами.
В полной линейной группе Шаблон:Math можно выделить подгруппу Шаблон:Math, состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка Шаблон:Math, обозначаемая Шаблон:Math.
Другие важные подгруппы группы Шаблон:Math:
- Диагональная группа — группа Шаблон:Math, состоящая из всех диагональных матриц порядка Шаблон:Math;
- Треугольная группа — группа Шаблон:Math, состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка Шаблон:Math (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые);
- Унитреугольная группа — группа Шаблон:Math, состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка Шаблон:Math, у которых диагональные элементы равны 1.
Группу Шаблон:Math и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа Шаблон:Math — линейная, но не матричная).
В частности, подгруппами группы Шаблон:Math являются специальная линейная группа Шаблон:Math, ортогональная группа Шаблон:Math, специальная ортогональная группа Шаблон:Math и др.
Подгруппами группы Шаблон:Math являются специальная линейная группа Шаблон:Math, унитарная группа Шаблон:Math, специальная унитарная группа Шаблон:Math порядка n и др.
Полные линейные группы Шаблон:Math и Шаблон:Math (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются[3] группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.
Заметим ещё, что при n = 1 группа Шаблон:Math фактически сводится к группе Шаблон:Math ненулевых скаляров поля Шаблон:Math (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы Шаблон:Math абелевыми не являются.
Примечания
Литература
См. также
- ↑ Платонов В. П. Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — Шаблон:М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.
- ↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. геометрические главы. — Шаблон:М.: Наука, 1977. — С. 268—271.
- ↑ Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — Шаблон:М.: Наука, 1986. — С. 420.
