Русская Википедия:Полная производная функции
Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.
Расчёт полной производной функции <math>f = f(t, x(t), y(t))</math> по времени t, <math>\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}</math> (в отличие от частной производной, <math>\frac{\partial f}{\partial t}</math>) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.
| Оператор \ Функция | <math>f(x)</math> | <math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> |
|---|---|---|
| Дифференциал | 1: <math>\operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x</math> | 2: <math>\operatorname{d}_x\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x</math> 3: <math>\operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x + f'_y\operatorname{d}\!y + f'_u\operatorname{d}\!u + f'_v\operatorname{d}\!v</math> |
| Частная производная | <math>f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}</math> | <math>f'_x
\overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} = {\partial f\over \partial x}</math> |
| Полная производная | <math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} f'_x</math> |
<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=} f'_x + f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} + f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x}; (f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) </math> |
Пример № 1
Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:
- <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t_0, x(t_0), y(t_0))= \left.\frac{\partial f}{\partial t} \right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},</math>
что упрощается до
- <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t, x(t), y(t))= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},</math>
где <math>\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}</math> — частные производные.
Следует отметить, что обозначение <math> \frac{df}{dt}</math> является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Пример №2
Например, полная производная функции <math>f(x(t), y(t))</math>:
- <math>{ df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over \ dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt }</math>
Здесь нет <math>{ \partial f \over \partial t }</math> так как <math>f</math> сама по себе («явно») не зависит от <math>t</math>.
Приложения
См. также
Шаблон:Нет ссылок Шаблон:Дифференциальное исчисление
