Русская Википедия:Полное метрическое пространство

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства)Шаблон:Sfn.

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство <math>X=(X,\rho)</math> можно вложить в полное пространство <math>Y</math> таким образом, что метрика <math>Y</math> продолжает метрику <math>X</math>, а подпространство <math>X</math> всюду плотно в <math>Y</math>. Такое пространство <math>Y</math> называется пополнением <math>X</math> и обычно обозначается <math>\bar X</math>.

Построение

Для метрического пространства <math>X=(X,\rho)</math>, на множестве фундаментальных последовательностей в <math>X</math> можно ввести отношение эквивалентности

<math>(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.</math>

Множество классов эквивалентности <math>\bar X</math> с метрикой, определённой

<math>\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),</math>

является метрическим пространством. Само пространство <math>(X,\rho)</math> изометрически вкладывается в него следующим образом: точке <math>x\in X</math> соответствует класс постоянной последовательности <math>x_n=x</math>. Получившееся пространство <math>(\bar X,\bar \rho)</math> и будет пополнением <math>X</math>.

Свойства

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического <math>M</math> пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Метрическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого <math>\varepsilon>0</math> пространство <math>X</math> можно покрыть конечным числом шаров радиуса <math>\varepsilon</math>.
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
  • Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
    • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

  • Множество вещественных (действительных) чисел <math>\mathbb{R}</math> полно в стандартной метрике <math>d(x, y) = |x - y|</math> — естественная метрика на числовой оси.
  • Множество <math>\mathbb{R}^{n}</math> с заданной на нём метрикой <math>d_{2}(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{\left(x - y\right)}^2}</math> — евклидова метрика (или <math>{l}_{2}</math>-метрика);
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полноШаблон:Sfn.
  • Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

  • Рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math> со стандартным расстоянием <math>d(x,y)=|x-y|</math> являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
  • Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел <math>\mathbb Q_p</math>.
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике <math> d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx </math>. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

  • Если <math>X</math> имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Полное_метрическое_пространство&oldid=10617185