Русская Википедия:Полнократное число
Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.
Эквивалентное определение: число, представимое в виде <math>a^2 b^3</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — положительные целые числа (натуральные числа).
Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.
Список полнократных чисел между 1 и 1000[1]:
- 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.
Эквивалентность двух определений
Если <math>m = a^2 b^3</math>, то любое простое в разложении <math>a</math> входит дважды, а входящее в <math>b</math> — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении <math>m</math> входит не менее, чем в квадрате.
С другой стороны, пусть <math>m</math> — полнократное число с разложением
- <math>m = \prod p_i^{\alpha_i}</math>,
где каждое <math>\alpha_i \ge 2</math>. Определим <math>\gamma_i</math> равным трём, если <math>\alpha_i</math> нечётно, и нулю в противном случае, и определим <math>\beta_i = \alpha_i - \gamma_i</math>. Тогда все значения <math>\beta_i</math> являются неотрицательными чётными целыми, и все значения <math>\gamma_i</math> либо равны нулю, либо трём, так что:
- <math>m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3</math>
даёт искомое представление <math>m</math>, как произведение квадрата и куба.
Иными словами, для данного разложения числа <math>m</math> можно взять в качестве <math>b</math> произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку <math>m</math> — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что <math>m / b^3</math> является целым. Теперь каждый простой множитель <math>m / b^3</math> имеет чётную степень, так что <math>m / b^3</math> — полный квадрат, обозначим его как <math>a^2</math>; и получается <math>m = a^2 b^3</math>. Например:
- <math>m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2</math>,
- <math>b = 2 \times 3 = 6</math>,
- <math>a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10</math>,
- <math>m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3</math>.
Математические свойства
Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:
- <math>\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)</math>,
где <math>p</math> — обходит все простые числа, <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана, и <math>\zeta(3)</math> — постоянная Апери (Голомб, 1970).
Пусть <math>k(x)</math> означает количество полнократных чисел в интервале <math>[1,x]</math>. Тогда <math>k(x)</math> пропорционально квадратному корню из <math>x</math>. Точнее:
- <math>cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2,173\cdots</math>Шаблон:Sfn.
Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля <math>x^2 - 8y^2 = 1</math> имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чиселШаблон:Sfn; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, <math>x^2 - ny^2 = \pm 1</math> для любого куба <math>n</math>. Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел аналогичных <math>(23^3, 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2)</math>, в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что <math>3^3 c^2 +1 = 7^3 d^2</math> имеет бесконечно много решений.
Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.
Суммы и разности полнократных чисел
Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:
- <math>(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \Rightarrow (k+1)^2 - k^2 = 2k + 1</math>.
Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: <math>(k + 2)^2 - k^2 = 4k + 4</math>. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.
Голомб дал несколько таких представлений:
- 2 = 33 − 52
- 10 = 133 − 37
- 18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).
Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например
- 6 = 5473 − 4632,
и МакдэниелШаблон:Sfn показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .
Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-БрауномШаблон:Sfn.
Обобщение
<math>k</math>-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее <math>k</math>.
<math>(2^{k+1} - 1)^k</math>, <math>2^k(2^{k+1}-1)^k</math>, <math>(2^{k+1}-1)^{k+1}</math> являются <math>k</math>-полнократными в арифметической прогрессии.
Более того, если <math>a_1, a_2, \dots, a_s</math> являются <math>k</math>-полнократными в арифметической прогрессии с разностью <math>d</math>, то:
- <math>(a_1 + d)^k, a_2(a_s + d)^k, \dots, a_s(a_s + d)^k, a_s(a_s + d)^{k + 1}</math>
являются <math>k</math>-полнократными числами в арифметической прогрессии.
Для <math>k</math>- полнократных чисел имеет место:
- <math>a^k(a^l + \dots + 1)^k + a^{k+1}(a^l + \dots + 1) + \dots + a^{k+l}(a^l + \dots + 1) = a^k(a^l + \dots + 1)^{k+1}</math>.
Это равенство даёт бесконечно много наборов длины <math>l+1</math> <math>k</math>- полнократных чисел, суммы которых тоже <math>k</math>-полнократны. НитаджШаблон:Sfn показал, что имеется бесконечно много решений уравнения <math>x + y = z</math> среди взаимно простых 3-полнократных чисел. КонШаблон:Sfn сконструировал бесконечное семейство решений уравнения <math>x + y = z</math> среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка
- <math>X = 9712247684771506604963490444281</math>,
- <math>Y = 32295800804958334401937923416351</math>,
- <math>Z = 27474621855216870941749052236511</math>
является решением уравнения <math>32X^3 + 49Y^3 = 81Z^3</math>. Возможно сконструировать другое решение, положив <math>X' = X(49Y^3 + 81Z^3), Y' = - Y(32X^3 + 81Z^3), Z' = Z(32X^3 - 49Y^3)</math> и убирая общий делитель.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылки
Шаблон:Rq Шаблон:Числа по характеристикам делимости
