Русская Википедия:Полугеодезические координаты

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты <math>x_1,x_2,...,x_n</math> в <math>n</math>-мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие <math>x_1</math>, являются геодезическими, на которых <math>x_1</math> играет роль натурального параметра, а координатные поверхности <math>x_1 = \mathrm{const}</math> ― ортогональны этим геодезическим.

В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид

<math>\mathrm{I} = dx_1^2 + \sum_{i,j=2}^n g_{ij} dx_i dx_j,</math>

то есть <math>g_{11}\equiv 1</math> и <math>g_{1j} \equiv 0</math> при всех <math>j>1</math>.

Примеры

• Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.

• Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензоромШаблон:Нет АИ 2

  <math>

\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&e^{2\cdot x_1}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&e^{2\cdot x_1} \end{pmatrix} </math>

• • Иначе говоря, <math>n</math>-мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению <math>\R^{n-1}\mathrel{{\times}_{\exp}} \R</math>.

Свойства

• Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия.

• Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции БуземанаШаблон:Нет АИ 2.

• В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах <math>u,v</math> имеет вид

  <math>\mathrm{I} = du^2 + B^2(u,v) dv^2</math>

с положительной функцией <math>B(u,v)</math>, при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле

<math>K = - B_{uu}/B.</math>

Литература

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981.
• W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982).
• W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983).
• B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Encyclopedia of Mathematics