Русская Википедия:Полугруппа операторов
Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине XX века в работах таких известных математиков, как Шаблон:Нп2, Шаблон:Нп2, Иосиды, Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.
Определение
Пусть <math>X</math> — банахово пространство. Полугруппой операторов <math>\{T_t\}_{t\geqslant 0}</math> в пространстве <math>X</math> называется семейство ограниченных операторов <math>T_t:X\to X</math>, <math>t\geqslant 0</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:
- <math>T_tT_s=T_{t+s}</math>, где умножение операторов есть композиция этих отображений.
- <math>T_0=I</math>, где <math>I</math> есть единичный оператор в пространстве <math>X</math>.
Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы <math>M>0, \alpha\in R</math>, что:
- <math>
\|T_t\|\leqslant Me^{\alpha t}. </math>
Генератор полугруппы
Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы <math>T_t</math> называется оператор
- <math>A:X \supset D(A)\to X</math>
- <math>A\varphi=\lim\limits_{t\to0}\frac{T_t\varphi-\varphi}{t},\ \varphi\in D(A),</math>
где область определения <math>D(A)</math> определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в <math>X</math>, а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.
Виды полугрупп
В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.
Полугруппа <math>T_t</math> называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:
- <math>
\lim\limits_{t\to s}\|T_t-T_s\|=0 </math>,
где предел понимается в смысле операторной топологии.
Полугруппа <math>T_t</math> называется <math>C_0</math>-полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:
- <math>
\lim\limits_{t\to s}\|T_t\varphi-T_s\varphi\|_X=0 </math>,
для любого фиксированного элемента <math>\varphi\in X</math>.
Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:
- <math>
\|T_t\|\leqslant 1 </math>.
Сильно непрерывная полугруппа <math>T_t</math> называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор
- <math>
\Delta_\delta=\{\lambda\in C:|arg \lambda|<\delta, Re\lambda>0\},\quad 0<\delta\leqslant \pi/2 </math>,
таким образом, что <math>T_\lambda</math> непрерывна в <math>\overline{\Delta}_\delta</math>.
Критерии для генераторов полугрупп
Линейный оператор <math>A</math> в пространстве <math>X</math> порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда <math>A</math> является ограниченным оператором. Отсюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.
Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема: линейный оператор <math>A</math> является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
- Оператор <math>A</math> замкнутый.
- Область определения <math>D(A)</math> плотно в <math>X</math>.
- Существует такое <math>\lambda_0</math>, что все числа <math>\lambda\geqslant \lambda_0</math> являются резольвентными для оператора <math>A</math>.
- Существует такая константа <math>c_1>0</math>, что для всех <math>\lambda>\lambda_0</math> выполнено неравенство
- <math>
\|(\lambda I-A)^{-k}\|\leqslant \frac{c_1}{(\lambda-\lambda_0)^k},\quad k=1,2,\dots </math>
Если вместо условия 4) выполнено условие
- <math>
\|\lambda I-A\|\leqslant \frac{1}{\lambda-\lambda_0}, </math> то оператор <math>A</math> также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. Случай <math>\lambda_0=0</math> известен как теорема Хилле — Иосиды: линейный оператор <math>A</math> является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
- Оператор <math>A</math> замкнутый.
- Область определения <math>D(A)</math> плотно в <math>X</math>.
- Все числа <math>\lambda\geqslant 0</math> являются резольвентными для оператора <math>A</math>.
- Для всех <math>\lambda>0</math> выполнено неравенство:
- <math>
\|\lambda I-A\|\leqslant \frac{1}{\lambda}, </math>
Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы <math>A</math> был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора <math>A</math>.
Оператор <math>A</math> является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа <math>\pi/2<\omega \leqslant \pi</math> и <math>q \geqslant 0</math>, что множество <math>\Omega_{q,\omega}=\{\lambda\in C:Re\lambda>\omega,|\lambda|>q\}</math> свободно от спектра оператора <math>A</math> и выполнено неравенство
- <math>
\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leqslant \frac{c_2}{|\lambda|},\quad \lambda\in\Omega_{q,\omega}, </math> где константа <math>c_2>0</math> не зависит от <math>\lambda</math>.
Ещё один эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы — генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если
- <math>
\|tAT_t\varphi\|_X\leqslant C,\quad \varphi\in X,\ t>0, </math>
где <math>C>0</math> — константа, независящая от <math>t</math>.
Примечания
Литература
- Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
- Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
- Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
- Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
- Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.
- Р. В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. — 205 с.
